Разное

Завитки в векторе: Изображения Орнамент | Бесплатные векторы, стоковые фото и PSD

02.11.2019

Содержание

%d0%b7%d0%b0%d0%b2%d0%b8%d1%82%d0%ba%d0%b8 %d1%83%d0%b7%d0%be%d1%80%d1%8b %d0%b8 %d0%bf%d1%80%d0%be%d1%87%d0%b5%d0%b5 PNG, векторы, PSD и пнг для бесплатной загрузки

  • Мемфис дизайн геометрические фигуры узоры мода 80 90 х годов

    4167*4167

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • Мемфис шаблон 80 х 90 х годов стилей фона векторные иллюстрации

    4167*4167

  • green environmental protection pattern garbage can be recycled green clean

    2000*2000

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • поп арт 80 х патч стикер

    2292*2293

  • Мемфис бесшовные модели 80 х 90 х стилей

    4167*4167

  • дизайн плаката премьера фильма кино с белым вектором экрана ба

    1200*1200

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • 80 основных форм силуэта

    5000*5000

  • be careful to slip fall warning sign carefully

    2500*2775

  • милая ретро девушка 80 х 90 х годов

    800*800

  • 80 летний юбилей дизайн шаблона векторные иллюстрации

    4083*4083

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • поп арт 80 х патч стикер

    2292*2293

  • аудиокассета изолированные вектор старая музыка ретро плеер ретро музыка аудиокассета 80 х пустой микс

    5000*5000

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • blue series frame color can be changed text box streamer

    1024*1369

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • поп арт 80 х патч стикер

    2292*2293

  • 80 е брызги краски дизайн текста

    1200*1200

  • поп арт 80 х патч стикер

    2292*2293

  • скейтборд в неоновых цветах 80 х

    1200*1200

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • ценю хорошо как плоская цвет значок векторная icon замечания

    5556*5556

  • непрерывный рисунок одной линии старого телефона винтаж 80 х 90 х годов стиль вектор ретро дизайн минимализм с цветом

    3967*3967

  • поп арт 80 х патч стикер

    2292*2293

  • я люблю моих фб хорошо за футболку

    1200*1200

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • Элементы рок н ролла 80 х

    1200*1200

  • поп арт 80 х патч стикер

    2292*2293

  • Ретро ретро пиксель

    4725*2658

  • винтаж 80s 90s зеленой энергии моды мультфильм пример комплекс

    800*800

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • pop be surprised female character

    2000*2000

  • поп арт 80 х патч стикер

    2292*2293

  • поп арт 80 х патч стикер

    2292*2293

  • Мода стерео ретро эффект 80 х годов тема искусства слово

    1200*1200

  • Трехмерная ретро игра в стиле 80 х арт дизайн

    1200*1200

  • витамин b5 пантотеновая кислота вектор витамин золото масло таблетки значок органический витамин золото таблетки значок капсула золотое вещество для красоты косметическая реклама дизайн комплекс с химической формулой иллюстрации

    5000*5000

  • Дизайн персонажей моды 80 х годов может быть коммерческими элементами

    2000*2000

  • поп арт 80 х патч стикер

    3508*2480

  • в продаже со скидкой значок специальное предложение цены на 80% вектор

    4083*4083

  • 80 х годов ретро слово градиент цвета искусства

    1200*1200

  • Ретро мода 80 х градиент цвета художественного слова

    1200*1200

  • Применение аппарата Вектор в стоматологии — Zubki

    Принцип работы аппарата

    Vector – это скайлер (скейлер) – прибор для удаления зубного камня; принцип его работы основан на действии ультразвука на твердые отложения и мягкий зубной налет, при этом десны и зубная эмаль не испытывают какой-либо нагрузки благодаря использованию жидкой среды при работе аппарата. Ультразвуковые колебания определенной частоты разрушают зубные отложения и микробную биопленку, происходит бережная полировка зубной эмали, одновременно вымываются остатки загрязнений. После удаления твердых отложений и микробов восстанавливается состояние десен, уходит воспаление.

    Аппарат Vector – современная ультразвуковая система, усовершенствованная по сравнению с традиционными ультразвуковыми аппаратами. Частота ультразвуковых волн прибора – 25 кГц, при этом их движение не разнонаправленное, как в остальных приборах, а направляется параллельно длинной оси зуба (отсюда название аппарата – «вектор» ‒ несущий направление). Эта особенность реализуется благодаря наконечнику с резонансным кольцом.

    Существует две разновидности приборов: Vector Scaler – аппарат с обычным наконечником, и Vector Paro – кроме обычного наконечника скейлера в комплект входит инновационный наконечник Paro, который позволяет работать не только с водой, но и с полирующей жидкостью. При использовании наконечника Paro создаются линейные колебания, расположенные вертикально к продольной оси инструмента, жидкость поступает пульсирующей струей.

    Благодаря параллельной направленности ультразвуковой волны, при удалении с поверхности бактерий и налета, корни зубов не испытывают нежелательной нагрузки.

    В комплекте с прибором поставляются жидкость для полировки Vector Fluid Polish, наборы инструментов и насадок, контейнер для стерилизации, набор средств для сервисного ухода за аппаратом.

    Перед началом процедуры на насадку наносится специальная лечебная смесь, в которой присутствуют частички гидроксиапатита (кальция, схожего по составу с эмалью). Также в состав смеси включены антисептические бактерицидные компоненты, способствующие заживлению десен.

    Преимущества лечения аппаратом Vector

    По сравнению с традиционными ультразвуковыми скейлерами аппарат Vector имеет такие преимущества:

    • Благодаря тому, что рабочая насадка совершает вертикальные движения, исключается вероятность механического повреждения эмали зуба, корневого цемента или ортопедических конструкций.
    • Упорядоченность ультразвуковых колебаний способствует более глубокому проникновению ультразвука и более качественной очистке. Традиционный ультразвуковой аппарат способен проводить обработку на глубине до 5 мм, в то время как Вектор – до 11 мм.
    • Ультразвуковая энергия подается на обрабатываемую поверхность через гидрооболочку. Это обеспечивает мягкое воздействие на ткани и исключает возможность перегрева зуба.
    • Жидкость, через которую передается ультразвуковая энергия, содержит частицы гидроксиапатита, благодаря которым облегчается процесс удаления поддесневых отложений и полировки эмали. Также гидроксиапатит стимулирует восстановление тканей периодонта;
    • В аппарате Вектор отсутствуют самоколебания, хаотические биения, присущие обычным скалерам, благодаря этому стоматолог может с четкой последовательностью проводить обработку.
    • Лучшую видимость обрабатываемых участков обеспечивают шесть светодиодных ламп на наконечнике.
    • При работе Вектор не создает аэрозольное облако, как другие скейлеры, это значит, что отсутствует риск инфицирования медицинского персонала.
    • Наличие инструментов для первичной пародонтальной терапии облегчают работу стоматолога; vector-06-initial-operation
    • Специальные инструменты для обработки поверхности имплантов помогают предупредить развитие периимплантита.
    • Множество сменных насадок дает возможность обрабатывать глубокие пародонтальные карманы.
    • При лечении аппаратом неприятные ощущения у пациентов сведены к минимуму.
    • Высокая гигиеничность, возможность проводить дезинфицирующую обработку любых частей аппарата.
    • Простота использования и эффективность лечения сокращают время проведения процедуры, исключают вероятность врачебных ошибок.
    • Лечебный курс составляет 1-2 сеанса, в последующем нужна только поддерживающая терапия.
    • После лечения развивается стойкий положительный эффект.

    Аппарат комплектуется большим количеством насадок, это позволяет провести эффективное лечение в большинстве клинических случаев. Антибактериальная безопасность обеспечивается полностью автономной емкостью воды, и герметичностью аппарата.

    Максимальная глубина обработки карманов с помощью вектора достигает 11 мм, против 5 мм у другого оборудования.

    Для поддерживающей терапии система Vector комплектуется зондами и профилактическими кюретами из гибкой пластмассы и из углеродистого волокна. Это существенно снижает риск повреждения поверхности корня или случайного травмирования периодонта.

    Важно и то, что аппарат имеет встроенную функцию контроля состояния полируемой поверхности и может «отличить» корни зубов от образований на них, это позволяет избежать потери тканей зуба во время процедуры.

    Эффекты после лечения аппаратом Vector

    Что получает пациент после прохождения процедуры:

    • Устраняется воспаление десен.
    • Восстанавливается нормальное кровообращение в тканях.
    • Ускоряются процессы регенерации.
    • Десны приобретают здоровый цвет.
    • Устраняется неприятный запах изо рта.
    • Уменьшается глубина пародонтальных карманов.
    • Снижается подвижность зубов.
    • Исчезает кровоточивость десен.

    Показания к проведению лечения аппаратом Vector

    • Пародонтит различной степени.
    • Пародонтоз (по решению врача).
    • Гингивит, в том числе у беременных.
    • Профилактика и лечение периимплантита.
    • Установленные брекет-системы.
    • Поддерживающее лечение при заболеваниях пародонта, сопутствующих системным заболеваниям (эндокринным, сердечно-сосудистым патологиям).
    • Плановый гигиенический уход за полостью рта для профилактики заболеваний пародонта.
    • Санация полости рта перед стоматологическим лечением, имплантацией, у женщин – при планировании беременности.

    Если вместо жидкости Vector Fluid Polish используется Vector Fluid Abrasive с абразивными частицами карбида кремния, аппарат Вектор используют для малоинвазивной препарации кариозных полостей, обработки искусственных зубов.

    Лечение пародонтита аппаратом вектор

    Лечение такого заболевания как пародонтит отличается в зависимости от его стадии.

    На начальной стадии пародонтита (глубина карманов до 3,5 мм) лечение проводят консервативно (терапевтически) с помощью лекарственных препаратов, которые назначаются в виде таблеток и инъекций, и гигиенических чисток.

    При пародонтите средней степени тяжести (глубина карманов до 5 мм), чистку корней проводят с помощью закрытого кюретажа карманов (механически, специальным инструментом).

    При тяжелой стадии заболевания, провести чистку корней зубов не раскрывая карман уже не получается, поэтому производится лоскутная операция, десна откидывается, и производят открытую чистку корней зубов от бактериального налета и их полировку. После операции десны ушиваются.

    Очевидно, закрытый кюретаж и в особенности лоскутная операция малоприятные процедуры, так и послеоперационный период долгий и неприятный.

    Альтернативный способом лечения пародонтита является чиста карманов аппаратом вектор. Она характеризуется минимальной травмой тканей во время операции и отсутствием послеоперационного периода. После такой чистки пациент отправляется из клиники «по своим делам» и через несколько часов уже забывает о ней.

    Аппарат Vector существенно повышает скорость и результативность лечения болезни. Его воздействие останавливает патологический процесс во всех тканях, окружающих зуб. Пациенты избавляются от болевых ощущений и дискомфорта, прекращается кровоточивость десен, исчезает неприятный запах изо рта, снимаются воспалительные процессы, состояние пародонта заметно улучшается. При всех преимуществах, лечение комфортно.

    Упомянем еще один современный метод лечения пародонтита – с помощью лазера и фотосенсибилизатора.

    Лечение пародонтоза с помощью аппарата Вектор

    Пародонтоз является системным заболеванием организма, поэтому стоматолог выполняет только свою часть комплексного лечения.

    Важно правильно диагностировать это заболевание, многие пациенты путают его с пародонтитом из-за некоторой схожести симптомов и могут обратиться к стоматологу, хотя первопричинами пародонтоза могут быть:

    • Атеросклероз;
    • Сахарный диабет;
    • Сосудистые заболевания;
    • Заболевания костных тканей,
    • Гипертония,
    • Нарушения в зубочелюстной системе и др.

    Комплект аппарата вектор имеет снабжается необходимыми насадками для чистки и полировки корней зубов. Сама процедура в целом аналогична процедуре обработки тканей периодонта при лечении пародонтита.

    Лечение переимплантита аппаратом вектор

    Переимплантит –процесс, которые может возникать в тканях зуба, находящихся рядом с имплантатом. Хотя имплантат является не органической структурой, а зуб органической, природа возникновения переимплантита сходна с природой возникновения пародонтита.

    Основной «виновник» переимплантита – это бактериальный налет, который скапливается части имплантата, которая возвышается над костью. Налет провоцирует воспаление тканей вокруг имплантата и может послужить причиной его отторжения.

    Возникновение или не возникновение налета зависит от конструкции имплантата, объема десны, качества установки и индивидуальных особенностей организма. Если налет все же возник, то его нужно удалить.

    Ультразвуковая волна, генерируемая аппаратом Вектор, отлично удаляет налет, бактерии и биопленки с поверхностей имплантантов, прекращая развитие периимплантита и не повреждая сами имплантаты и супраструктуры.

    Успех пародонтологического лечения обусловлен в том числе регулярными чистками карманов и другими мероприятиями, которые повторяют через определенные промежутки времени. Особенно это важно при поддерживающей терапии при лечении пародонтита.

    Регулярная чистка карманов и удаление бактериального налета с корней зубов или имплантатов превращает эту процедуру в аналог профессиональной гигиенической чистки.

    Противопоказания

    Традиционно к применению ультразвука при лечении заболеваний пародонта существуют такие противопоказания как склонность к кровотечениям, острые процессы в пародонте. Применение Vector не имеет таких ограничений. Нельзя проводить лечение прибором в таких случаях:

    • Установленный кардиостимулятор;
    • Индивидуальная непереносимость компонентов жидкости Vector Fluid Polish;
    • Злокачественные опухоли в ротовой полости;
    • Острые инфекционные заболевания.

    Щадящее воздействие аппарата Вектор, возможность применения его даже в остром периоде дают прибору преимущества при выборе способа лечения заболеваний пародонта. При своевременно начатом лечении аппаратом во многих случаях удается избежать хирургического вмешательства.

    Навигация по записям

    Интернет-сайт международного общества «Вектор духовности»

    Валерий Аллин

    «Актёр — это же человек, которому мало жизни собственной, ему надо прожить ещё иную жизнь» Константин Райкин

    Новичок

    Времени оставалось совсем мало, и Режиссёр начинал нервничать: роль, которая досталась Гоше, была крайне простой, но новичка и простая роль могла поставить в тупик.

    — Что конкретно я должен там делать? — в десятый раз спросил Гоша. — Я не понимаю это ваше «сориентируешься на сцене».
    — В целом ты должен перестать быть новичком. Для этого нужен опыт. Для опыта ты должен чаще выходить на сцену…
    — Это я понял, но а там-то мне что делать? Как можно вот так вот и сразу на сцену, без репетиций? А вдруг актёрский состав меня не примет – пьеса идёт давно, а тут я «здрасти, приехали».
    — Все так начинали. Почти все. Большинство. Тут нет ничего зазорного, — затараторил режиссёр. – И главное, делать-то ничего не надо особенного — какие там репетиции! Просто будешь изображать сына. «Родители» опытные – вытянут все первые сцены, а ты по ходу уж подтянешься. Кстати, они давно ждут в соседней комнате — обсудим детали. Хорошо бы, чтобы они не забыли, как тебя зовут…
    — А если я снова не справлюсь? Если как в прошлый раз?
    — Ну, снова будем пробовать. Что поделаешь? Ты, главное, не натвори там чего непоправимого, а то вылетишь из театра как пробка. Прочитать дальше

    Категории: Библиотека, Нью-эйдж, Основные разделы, Сказки и притчи, Тексты

    Валерий Аллин

    Середина жизни человека – это когда ни будущее, ни прошлое не лучше, чем сейчас.
    * Прочитать дальше

    Теги: афоризмы, юмор Категории: Библиотека, Основные разделы, Тексты, Юмор

    Нина Ассалам

    Андалузский «Дом Силы»

    Приходила ли вам когда-нибудь в голову мысль, что, регулярно удовлетворяя физический голод, мы и не задумываемся о питании органов чувств? Получаемая нами пища впечатлений очень бедна: она задействует один, максимум два вида восприятия в каждое данное время. Остальные чувства остаются «недокормленными». Попадая в места Традиции, подобные испанской Альгамбре, заставляющие работать все пять чувств одновременно, мы испытываем ранее незнакомое ощущение наполненности и даже экстаза, природу которых не можем ни понять, ни объяснить.

    А суть создания подобного переживания объяснима и воспроизводима, хоть и не проста… Прочитать дальше

    Категории: Основные разделы, Религии мира

    (Превод Андрея Коклина)

    Ранее не публиковавшаяся работа, интересная с точки зрения понимания некоторых методов, использовавшихся Гурджиевым для обучения. Работа написана анонимно, вероятно (по стилю и времени упоминаемых событий) Дж.Г. Беннеттом, возможно даже, под собственной гурджиевской редакцией… Аутентичность самой работы сомнений не вызывает — по крайней мере, как говорят, она много лет известна в «ограниченных кругах»…

    ~ • ~ • ~

    Символическое представление человеческой судьбы, получившее название ‘Наука Идиотизма’, многие годы использовалось Гурджиевым для целей практического обучения. Он часто повторял, что придумал её не сам, что исходит она из одной весьма древней традиции, возникшей около 4500 лет назад; что о ней знали в Вавилоне и впоследствии она сохранилась в Центральной Азии. Сам он познакомился с ней в одном братстве — центральный монастырь которого, как я выяснил, располагался в горах Памира — где он провёл некоторое время. Это Братство использовало символизм Идиотов для выражения и сохранения важного знания о Человеке и его Судьбе. Посвящённые передавали его из поколения в поколение, как один из основных секретов этого Братства. Прочитать дальше

    Категории: Библиотека, Не для всех, Нью-эйдж, Основные разделы, Тексты

    (в интерпретации Валерия Аллина)
    *
    — Как это ты так быстро моего мужа окрутила?
    — А я сразу взяла быка за рога.
    — Согласна — моя вина.
    *** Прочитать дальше

    Категории: Основные разделы, Юмор

    Виктор Олсуфьев

    «Словно семь заветных струн
    Зазвенели в свой черед,
    То мне птица Гамаюн
    Надежду подает. ..» Владимир Высоцкий

    То, о чем Вы спрашиваете – это большие вещи. Знание устройства музыки и знание пропорций – это одно знание: знание законов построения и работы октав. Если знать это, можно знать и многое другое. То есть, Вы хотите знать, как устроен наш мир, не больше и не меньше. Ну что ж, заявка неслабая…

    В виде примеров школ, владеющих таким знанием, можно упомянуть школы, связанные с суфийской традицией Накшбанди, и некоторые буддийские школы.

    С каждым из этих направлений связаны свои трудности. Подлинную суфийскую традицию, как известно, трудно найти. На нахождение ее могут уйти годы. В конечном счете, как я писал, школа может найти Вас, а не Вы школу (*1). Прочитать дальше

    Теги: ГУрджиев, Не для всех, практика, суфизм Категории: Библиотека, Не для всех, Нью-эйдж, Основные разделы, Суфизм

    Нина Ассалам

    Поскольку мы не видим всей сложности Накша-узора событий, происходящих вокруг нас, иногда то, чего мы просим в молитвах, может быть для нас не только не самым лучшим, но и просто вредным.

    Как-то, помнится, читала я один рассказ в жанре научной фантастики. Говорилось в нем о том, что где-то, в необъятных просторах Вселенной, находится уникальный аппарат, называемый Универсальный Ответчик. Универсальный Ответчик был способен ответить на любой вопрос, какой угодно сложности. Те, кто смогли добраться до него с далеких планет и звезд, с нетерпением и трепетом задавали ему свой наболевший, долго вынашиваемый вопрос. Однако о чём бы его ни спрашивали, Универсальный Ответчик всегда давал только один ответ.

    Ответ был такой: «Неправильно задан вопрос».

    В молитвах мы тоже часто «неправильно ставим вопрос», потому что сами не ведаем, о чём просим. В ситуациях, когда я не знаю, правильно ли то, о чём я хочу просить, всегда вспоминаю вот эту даосскую притчу: Прочитать дальше

    Категории: Буддизм, Основные разделы

    Исчисление III — Изгиб и расхождение

    Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т. е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 6-1: Изгиб и расхождение

    Прежде чем мы перейдем к поверхностным интегралам, нам нужно убрать с пути некоторый вводный материал. Это цель первых двух разделов этой главы.

    В этом разделе мы собираемся ввести понятия ротора и дивергенции вектора.

    Начнем с завитка. Для векторного поля \ (\ vec F = P \, \ vec i + Q \, \ vec j + R \, \ vec k \) локон определяется как

    \ [{\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F = \ left ({{R_y} — {Q_z}} \ right) \ vec i + \ left ({{P_z} — {R_x}} \ right ) \ vec j + \ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \ vec k \]

    Есть еще одно (потенциально) более простое определение ротора векторного поля. Чтобы использовать его, нам сначала нужно определить оператор \ (\ nabla \) . Это определено как

    \ [\ nabla = \ frac {\ partial} {{\ partial x}} \, \, \ vec i + \ frac {\ partial} {{\ partial y}} \, \, \ vec j + \ frac { \ partial} {{\ partial z}} \, \, \ vec k \]

    Мы используем this как функцию следующим образом.

    \ [\ nabla f = \ frac {{\ partial f}} {{\ partial x}} \, \, \ vec i + \ frac {{\ partial f}} {{\ partial f}} \, \, \ vec j + \ frac {{\ partial f}} {{\ partial z}} \, \, \ vec k \]

    Итак, любая функция, указанная после \ (\ nabla \), подставляется в частные производные.Также обратите внимание, что когда мы смотрим на это в этом свете, мы просто получаем вектор градиента.

    Используя \ (\ nabla \), мы можем определить локон как следующее перекрестное произведение:

    \ [{\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F = \ nabla \ times \ vec F = \ left | {\ begin {array} {* {20} {c}} {\ vec i} & {\ vec j} & {\ vec k} \\ {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial x}} } & {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial y}}} & {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial z}}} \\ P & Q & R \ end {array}} \ right | \ ]

    У нас есть пара интересных фактов, в которых используется завиток векторного поля.

    Факты
    1. Если \ (f \ left ({x, y, z} \ right) \) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то \ ({\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ left ({\ nabla f} \ справа) = \ vec 0 \). Это достаточно легко проверить, подключившись к определению производной, поэтому мы предоставим вам ее проверить.
    2. Если \ (\ vec F \) — консервативное векторное поле, то \ ({\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F = \ vec 0 \). Это прямой результат того, что значит быть консервативным векторным полем, и предыдущего факта.2} \, \ vec k \) — консервативное векторное поле. Показать решение

      Итак, все, что нам нужно сделать, это вычислить локон и посмотреть, получим ли мы нулевой вектор или нет.

      \ [\ begin {align *} {\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F & = \ left | {\ begin {array} {* {20} {c}} {\ vec i} & {\ vec j} & {\ vec k} \\ {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial x}} } & {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial y}}} & {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial z}}} \\ {{x ^ 2} y} & {xyz } & {- {x ^ 2} {y ^ 2}} \ end {array}} \ right | \\ & = — 2 {x ^ 2} y \, \ vec i + yz \, \ vec k — \ left ({- 2x {y ^ 2} \, \ vec j} \ right) — xy \, \ vec i — {x ^ 2} \ vec k \\ & = — \ left ({2 {x ^ 2} y + xy} \ right) \ vec i + 2x {y ^ 2} \, \ vec j + \ left ({yz — {x ^ 2}} \ right) \ vec k \\ & \ ne \ vec 0 \ конец {выравнивание *} \]

      Итак, локон не является нулевым вектором, и поэтому это векторное поле неконсервативно.

      Далее мы должны поговорить о физической интерпретации локона. Предположим, что \ (\ vec F \) — поле скоростей текущей жидкости. Тогда \ ({\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F \) представляет тенденцию частиц в точке \ (\ left ({x, y, z} \ right) \) вращаться вокруг оси, которая указывает в направлении \ ({\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F \). Если \ ({\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F = \ vec 0 \), то жидкость называется безвихревой.

      Теперь поговорим о второй новой концепции в этом разделе.Для векторного поля \ (\ vec F = P \, \ vec i + Q \, \ vec j + R \, \ vec k \) определена дивергенция, равная

      \ [{\ mathop {\ rm div} \ nolimits} \ vec F = \ frac {{\ partial P}} {{\ partial x}} + \ frac {{\ partial Q}} {{\ partial y}} + \ frac {{\ partial R}} {{\ partial z}} \]

      Существует также определение дивергенции в терминах оператора \ (\ nabla \). Расхождение можно определить с помощью следующего скалярного произведения. 2} \, \ vec k \) Показать решение

      Здесь действительно особо нечего делать, кроме как вычислить расхождение.2}} \ right) = 2z — 2z = 0 \]

      У нас также есть физическая интерпретация расхождения. Если мы снова подумаем о \ (\ vec F \) как о поле скоростей текущей жидкости, тогда \ ({\ mathop {\ rm div} \ nolimits} \ vec F \) представляет собой чистую скорость изменения массы жидкость, текущая из точки \ (\ left ({x, y, z} \ right) \) на единицу объема. Это также можно рассматривать как тенденцию жидкости отклоняться от точки. Если \ ({\ mathop {\ rm div} \ nolimits} \ vec F = 0 \), то \ (\ vec F \) называется несжимаемым.2} = \ nabla \ centerdot \ nabla \]

      Оператор Лапласа возникает естественным образом во многих областях, включая теплопередачу и поток жидкости.

      Последняя тема в этом разделе — дать две векторные формы теоремы Грина. Первая форма использует локон векторного поля и равна

      .

      \ [\ oint_ {C} {{\ vec F \ centerdot d \, \ vec r}} = \ iint \ limits_ {D} {{\ left ({{\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F } \ right) \ centerdot \ vec k \, dA}} \]

      , где \ (\ vec k \) — стандартный единичный вектор в положительном направлении \ (z \).

      Вторая форма использует дивергенцию. В этом случае нам также понадобится внешняя единичная нормаль к кривой \ (C \). Если кривая параметризована

      \ [\ vec r \ left (t \ right) = x \ left (t \ right) \ vec i + y \ left (t \ right) \ vec j \]

      , тогда нормальный внешний вид равен,

      \ [\ vec n = \ frac {{y ‘\ left (t \ right)}} {{\ left \ | {\ vec r ‘\ left (t \ right)} \ right \ |}} \ vec i — \ frac {{x’ \ left (t \ right)}} {{\ left \ | {\ vec r ‘\ left (t \ right)} \ right \ |}} \ vec j \]

      Вот эскиз, показывающий внешнюю единичную нормаль для некоторой кривой \ (C \) в различных точках.

      Векторная форма теоремы Грина, в которой используется дивергенция, имеет вид,

      \ [\ oint_ {C} {{\ vec F \ centerdot \ vec n \, ds}} = \ iint \ limits_ {D} {{{\ mathop {\ rm div} \ nolimits} \ vec F \, dA} } \]

      Дивергенция и изгиб вектора Feild

      РАЗЛИЧИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

      Дивергенция вектора в данной точке векторного поля является скаляром и определяется как величина потока, расходящегося от элемента единичного объема в секунду. вокруг этой точки.

      Расхождение вектора в точке может быть положительным, если силовые линии расходятся или выходят из небольшого объема, окружающего точку.

      С другой стороны, если силовые линии сходятся в небольшой объем, окружающий точку, расхождение вектора отрицательное. Если скорость, с которой силовые линии входят в небольшой объем, окружающий точку, равна скорости, с которой они покидают этот небольшой объем, то расхождение вектора равно нулю.

      , то есть div A = 0.

      Аналитически

      Если вектор A является функцией x, y и z, то

      A = Axi + Ayj + Azk

      Оператор Λ в декартовых координатах выражается как

      = id / dx + jd / dy + kd / dz

      Скалярное произведение оператора. A — это , записанное как

      Таким образом, расхождение вектора является скаляром.

      .A = div A = dAx / dx + dAy / dy + dAz / dz

      Соленоидальный вектор:

      Любой вектор A , дивергенция которого равна нулю, называется соленоидальным вектором, который равен

      . A = div A = 0

      ЗАВЕРШЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

      Физический смысл:

      Завиток вектора в любой точке является вектором. Curl — это мера того, насколько вектор изгибается вокруг рассматриваемой точки.

      Аналитически:

      Поворот вектора A определяется как векторное произведение или векторное произведение оператора (del) и A. Следовательно,

      Curl вектора является вектором.

      Пример . Когда твердое тело вращается вокруг фиксированной оси, ротор линейной скорости точки на теле представляет собой удвоенную угловую скорость.

      Векторное поле вращения : любое векторное поле, ротор которого не равен нулю, называется векторным полем вращения.

      Безвихревое векторное поле : любое векторное поле, ротор которого равен нулю, называется безвихревым векторным полем.

      Curl — Исчисление 3

      Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы вуза предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

      Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

      Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

      Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

      Вы должны включить следующее:

      Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного расположения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) что вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

      Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

      Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
      101 S. Hanley Rd, Suite 300
      St. Louis, MO 63105

      Или заполните форму ниже:

      Поиск завитка векторного поля: шаги и инструкции

      Окончательные результаты

      Уравнение локона в каждой из наших систем координат:

      Декартова система координат
      Цилиндрическая система координат
      Сферическая система координат

      Приложение

      Допустим, у нас есть вид сверху на векторное поле с некоторой наглядной циркуляцией:

      Циркуляция по часовой стрелке в векторном поле

      Ось z направлена ​​вне плоскости. Используя правило правой руки, вращение по часовой стрелке указывает на плоскость x y . Таким образом, мы ожидаем, что направление завитка будет отрицательным z .

      Локон в декартовых координатах

      В декартовых координатах это конкретное векторное поле v :

      В декартовой системе координат формула локона:

      Определите компоненты вектора v 1, v 2 и v 3:

      Оценка всех необходимых частных производных:

      Подставляем в формулу локона:

      Упрощение:

      Как и ожидалось, циркуляция указывает на направление — z , и мы видим, что величина равна 2.

      Локон в цилиндрических координатах

      Найдите локон

      (Это то же самое v , но выражено в цилиндрических координатах.)

      Запишите формулу скручивания:

      Идентификация компонентов вектора:

      Оценка всех необходимых частных производных:

      Подставляем в формулу локона:

      Упрощение:

      Это тот же результат, что и раньше, потому что направление z одинаково как в декартовой, так и в цилиндрической системах координат. Обычно выбор системы координат выбирается в соответствии с полем. В противном случае будет получен последовательный ответ, но потребуется дополнительная работа. Давайте исследуем это, вычислив ротор того же поля, но в сферической системе координат.

      Завиток в сферических координатах

      Найдите завиток

      (опять то же самое векторное поле, но записанное в сферических координатах.)

      Запишите формулу локона:

      Определение компонентов вектора:

      Оценка всех необходимых частных производных:

      Подставить в формулу curl:

      Упрощение:

      Этот ответ более сложен, потому что симметрия векторного поля не подходила для сферических координат. Обратите внимание, что результат зависит только от значения θ и не зависит от r и φ . Итак, мы рассмотрим этот результат, проверив некоторые конкретные значения θ :

      • для θ = 90o, косинус равен нулю, а синус равен 1.

      Единичный вектор для компонента θ указывает в направлении увеличения θ . При θ = 90o это направление находится в отрицательном направлении z .

      • для θ = 0o, косинус равен 1, а синус равен 0.

      Этот результат также согласуется с предыдущими результатами: изгиб указывает в отрицательном направлении z и имеет величину 2.

      Завиток

      Оператор Curl

      Что означает оператор curl в 3-м и 4-м уравнениях Максвелла? Что именно значение символа del с x рядом с ним, как видно в уравнении [1]?

      [Уравнение 1]

      Завиток — это мера вращения векторное поле. Чтобы понять это, мы снова будем использовать аналогию с текущей водой для представления векторная функция (или векторное поле). На рисунке 1 у нас есть векторная функция ( V ) и мы хотим знать, вращается ли поле в точке D (то есть мы хотим знать, равен ли изгиб нулю).

      Рисунок 1. Пример векторного поля, окружающего точку.

      Чтобы определить, вращается ли поле, представьте водяное колесо в точке D. Если векторное поле, представляющее поток воды, будет вращать водяное колесо, то ротор не равен нулю:

      Фигура 2.Пример векторного поля, окружающего водяное колесо, создающее вращение.

      На рисунке 2 мы видим, что водяное колесо будет вращаться по часовой стрелке. Следовательно, это векторное поле имело бы ротор в точке D.

      Теперь мы должны все усложнить. Изгиб на Рисунке 2 положительный или отрицательный и в каком направлении? Поскольку мы наблюдаем завиток, который вращает водяное колесо в плоскости x-y, направление завитка за ось z (перпендикулярную плоскости водяного колеса). Кроме того, локон следует Правило правой руки: если ваш большой палец указывает в направлении + z, то ваша правая рука будет сгибаться вокруг ось в направлении положительного завитка. На Рисунке 2 изгиб будет положительным, если водяное колесо вращается против часовой стрелки. Завиток будет отрицательным, если водяное колесо вращается в по часовой стрелке.

      На рисунке 2 водяное колесо вращается по часовой стрелке. Следовательно, z-компонента ротора для векторного поля на рисунке 1 отрицательный.

      Как вы понимаете, curl также имеет x- и y-компоненты. Следовательно, ротор действует на векторное поле и результат — трехмерный вектор. То есть, если мы знаем векторное поле, мы можем оценить локон в любом point — и результатом будет вектор (представляющий направления x, y и z).

      Давайте сделаем еще один пример с новым поворотом. Представьте, что векторное поле F на рисунке 3 имеет поля, направленные по оси z. Пусть символ представляет вектор в направлении + z. а символ представляет вектор в направлении -z:

      Рисунок 3.Векторное поле с энергией, направленной по оси Z — вращается ли колесо ?.

      Будет ли колесо вращаться, если вода течет вверх или вниз по нему? Ответ — нет. Только x- и y- направленные векторы могут вызвать вращение колеса, когда колесо находится в плоскости x-y. Следовательно, z-направленное векторные поля можно игнорировать для определения z-компоненты локона.

      Теперь давайте рассмотрим больше примеров, чтобы убедиться, что мы понимаем завиток. Что уж говорить о локонах векторного поля J в точке G на рисунке 4?

      Рисунок 4.Векторное поле в плоскости Y-Z.

      Изгиб положительный, отрицательный или нулевой на рисунке 4? И в каком направлении? Во-первых, поскольку водяное колесо находится в плоскости y-z, направление завитка (если оно не равно нулю) будет вдоль ось абсцисс. Теперь мы хотим знать, является ли локон положительным (вращение против часовой стрелки) или если локон отрицательный (вращение по часовой стрелке).

      Красный вектор на рисунке 4 находится в направлении + y. Однако это не будет вращать водяное колесо, потому что оно направлено прямо в центр колеса и не будет производить вращения.Зеленый вектор на рисунке 4 будет попробуйте повернуть водяное колесо по часовой стрелке, но черный вектор будет пытаться вращать водяное колесо против часовой стрелки — поэтому зеленый вектор и черный вектор компенсируют и производят нет вращения. Однако коричневый вектор будет вращать водяное колесо. против часовой стрелки. Следовательно, суммарный эффект всех векторов на рисунке 4 вращение против часовой стрелки. В результате изгиб на Рисунке 4 положительный и в + x-направлении.

      В общем, векторное поле будет иметь [x, y, z] компонентов. Полученный локон тоже вектор с [x, y, z] компонентами. Сложно рисовать трехмерные поля водяными колесами во всех 3 направлениях, но если вы понимаете приведенные выше примеры, вы можете обобщить 2-D идеи выше в 3-х измерениях. Теперь мы представим полное математическое определение локона.

      Математическое определение завитка

      Допустим, у нас есть векторное поле A (x, y, z), и мы хотим определить локон.Векторное поле A представляет собой трехмерный вектор (с компонентами x, y и z). То есть, мы можем написать A как:

      [Уравнение 2]

      Изгиб A определяется следующим образом:

      [Уравнение 3]

      В уравнении [3] — единичный вектор в направлении + x, является единичным вектором в направлении + y и является единичным вектором в направлении + z. (единичный вектор — это вектор с величиной, равной 1).Такие термины, как:

      [Уравнение 4]

      Операторы скорости изменения известны как частные производные. Для получения дополнительной информации см. то страница частной производной.

      Как видите, завиток выписать очень сложно. Но физический смысл может быть интуитивно понятно из приведенного выше обсуждения. Проще говоря, уравнение [3] говорит:

      [Уравнение 5]

      Таким образом, локон является мерой вращения поля и полностью определяет трехмерное пространство. вращения мы получаем трехмерный результат (завиток в уравнении [3]).Давайте посмотрим на математический пример векторного поля и вычисления локона. Предположим, у нас есть векторное поле H (x, y, z) определяется по формуле:

      [Уравнение 6]

      Теперь, чтобы получить ротор H в уравнении [6], нам нужно вычислить все частные производные ниже:

      [Уравнение 7]

      Использование результатов уравнения [7] в определении ротации в уравнении [3] дает ротор H :

      [Уравнение 8]

      Итак, у нас есть curl H в уравнении [8]. Обратите внимание, что изгиб H также является векторным функция. Таким образом, мы можем сказать, что новый вектор (назовем его V ) — это завиток H . Следовательно, V можно вычислить в любой точке пространства (x, y, z). Например, x-компонента of V всегда будет иметь Vx = -1. Аналогично Vy = -1. Но Vz зависит от x. Следовательно, V (3,4,0) будет иметь Vz = 0, но V (3,4, 0.5) будет иметь Vz = 2 * pi.


      Это дает вам всю необходимую информацию о локонах.Важно помнить состоят в том, что curl работает с векторной функцией и возвращает векторную функцию. Получившийся локон является мерой вращения поля по 3 главной оси (x-, y-, z-).


      Уравнения Максвелла Эта страница в curl (оператор curl или вращения) защищена авторским правом, особенно приложение к уравнениям Максвелла. Никакая часть не может быть воспроизведена без разрешения автора. Авторские права Maxwells-Equations.com, 2012-2016. 2} \ right) \ qquad \ = \ qquad \ ddot {\ bf x} \ qquad = \ qquad \ ddot {x} _i \ qquad = \ qquad x_ {i , tt} \]
      Можно использовать производную по \ (\; t \), или точку, которая, вероятно, является наиболее популярной, или запятую, которая является популярным подмножеством тензорной записи.{3т}) \]

      Пример спирали

      Положение муравья, ползающего по трубе и поднимающегося вверх, определяется выражением \ ({\ bf x} = (2 \ cos t, 2 \ sin t, 5t) \). Скорость \ ({\ bf v} \) равна

      \ [ \ dot {\ bf x} = {\ bf v} = (-2 \ sin t, 2 \ cos t, 5) \]
      и ускорение

      \ [ \ ddot {\ bf x} = \ dot {\ bf v} = {\ bf a} = (-2 \ cos t, -2 \ sin t, 0) \]
      , который всегда указывает в сторону центра трубы.


      Дифференциация по координате

      Предположим, вы хотите дифференцировать функцию \ (f (x, y, z) \) относительно \ (y \).Это записывается как

      \ [ {\ partial f \ over \ partial y} \ quad \ qquad \ text {или} \ qquad \ quad {\ partial f \ over \ partial x_2} \ quad \ qquad \ text {или} \ qquad \ quad f _ {, 2} \]
      где запятая — это обычное тензорное обозначение производной.

      В более общем случае дифференцирование по \ (x_j \) есть (да, это градиент)

      \ [ {\ partial f \ over \ partial x_j} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad f, _j \]
      Дифференцирование вектора \ ({\ bf v} \) есть

      \ [ {\ partial {\ bf v} \ over \ partial x_j} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad \ left ({\ partial \, v_x \ over \ partial x_j}, {\ partial \, v_y \ over \ partial x_j}, {\ partial \, v_z \ over \ partial x_j} \ right) \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad v_ {i, j} \]
      Дифференцирование тензора \ (\ boldsymbol {\ sigma} \) есть

      \ [ {\ partial \ boldsymbol {\ sigma} \ over \ partial x_k} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad \ sigma_ {ij, k} \]
      Как и в случае с векторами, каждый компонент тензора дифференцируется.2) \]


      Градиент

      Градиент функции \ (f ({\ bf x}) \) записывается как \ (\ nabla f ({\ bf x}) \) и является вектором. Он формируется путем дифференцирования функции по каждой координате.

      \ [ \ nabla f ({\ bf x}) = \ left ({\ partial f \ over \ partial x_1}, {\ partial f \ over \ partial x_2}, {\ partial f \ over \ partial x_3} \ right) \]

      Тензорная запись

      Градиент также можно записать как \ ({\ partial f \ over \ partial x_i} \) или просто как \ (е _ {, я} \).2 \). Градиент at \ ({\ bf x} = (5,3) \) является

      \ [ \ nabla f (x, y) \ quad = \ quad (4x, 2y) \ quad = \ quad (20, 6) \]
      Следовательно, при \ ({\ bf x} = (5,3) \) \ (f \) увеличивается со скоростью 20 по оси \ (x \) и со скоростью 6 по оси \ (y \). \ (20 {\ bf i} + 6 {\ bf j} \) также соответствует направлению в плоскости \ (x, y \) по которой \ (f \) будет расти быстрее всего.

      Также можно вычислить градиенты векторов. Результат будет тензор 2-го порядка.Например, градиент поля скорости записывается как \ (\ набла {\ bf v} \). Запись в тензорной записи \ (v_ {i, j} \) показывает более ясно, что результатом является тензор 2-го порядка из-за наличия индексов \ (i \) и \ (j \). Градиенты возникают при механической деформации и приложения теплопроводности. Механические деформации связаны с градиенты перемещений а теплопроводность связана с градиентом распределения температуры.

      Дивергенция

      Дивергенция вектора — это скалярный результат, а дивергенция вектора Тензор 2-го порядка — это вектор.Расходимость вектора записывается как \ (\ nabla \ cdot {\ bf v} \) или \ (v_ {i, i} \) в тензорной записи. это вычисляется как

      \ [ \ begin {eqnarray} \ nabla \ cdot {\ bf v} & = & ( {\ partial \ over \ partial x} {\ bf i} + {\ partial \ over \ partial y} {\ bf j} + {\ partial \ over \ partial z} {\ bf k}) \ cdot (v_x {\ bf i} + v_y {\ bf j} + v_z {\ bf k}) \\ \\ знак равно {\ partial v_x \ over \ partial x} + {\ partial v_y \ over \ partial y} + {\ partial v_z \ over \ partial z} \ end {eqnarray} \]

      Тензорная запись

      Как указано выше, расходимость записывается в тензорной записи как \ (v_ {i, i} \).3 — з) \ quad = \ quad 6x — 1 \]

      Расхождение векторов скорости часто возникает при обсуждении несжимаемости. и сохранение массы.

      Завиток

      curl вектора — это произведение частных производных на вектор. Завитки возникают, когда важны вращения, как это обычно бывает с перекрестными произведениями векторов. Вращения твердых тел автоматически влекут за собой большие перемещения, которые, в свою очередь, автоматически подразумевают нелинейный анализ. И поэтому кудри встречаются редко… потому что большинство анализов линейны.

      Кудри рассчитываются следующим образом.

      \ [ \ begin {eqnarray} \ nabla \ times {\ bf v} & = & ( {\ partial \ over \ partial x} {\ bf i} + {\ partial \ over \ partial y} {\ bf j} + {\ partial \ over \ partial z} {\ bf k}) \ times (v_x {\ bf i} + v_y {\ bf j} + v_z {\ bf k}) \\ \\ знак равно \ left | \ matrix { {\ bf i \;} & {\ bf j \;} & {\ bf k \;} \\ {\ partial \ over \ partial x} & {\ partial \ over \ partial y} & {\ partial \ over \ partial z} \\ v_x и v_y и v_z } \ right | \\ \\ знак равно ({\ partial \, v_z \ over \ partial y} — {\ partial \, v_y \ over \ partial z}) {\ bf i} + ({\ partial \, v_x \ over \ partial z} — {\ partial \, v_z \ over \ partial x}) {\ bf j} + ({\ partial \, v_y \ over \ partial x} — {\ partial \, v_x \ over \ partial y}) {\ bf k} \ end {eqnarray} \]

      Тензорная запись локонов

      Ротор вектора записывается в тензорной записи как \ (\ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} \). Очень важно понимать, что вектор здесь записывается как \ (v_ {k, j} \), а не как \ (v_ {j, k} \). Это потому, что локон равен \ (\ nabla \ times {\ bf v} \), а не \ ({\ bf v} \ times \ nabla \).

      Простой способ получить правильную тензорную нотацию — это подумать о \ (\ nabla \ times {\ bf v} \) как \ (\ epsilon_ {ijk} \ nabla_j v_k \) и обратите внимание на порядок индексы. Конечно, это сводится к правильному результату: \ (\ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} \).


      Как и в случае с перекрестными произведениями, тот факт, что \ (j \) и \ (k \) встречаются дважды в \ (\ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} \) означает, что оба автоматически суммируются от 1 до 3.Термин расширяется до

      \ [ \ matrix { \ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} & = & \ epsilon_ {i11} v_ {1,1} & + & \ epsilon_ {i12} v_ {2,1} & + & \ epsilon_ {i13} v_ {3,1} & + & \\ & & \ epsilon_ {i21} v_ {1,2} & + & \ epsilon_ {i22} v_ {2,2} & + & \ epsilon_ {i23} v_ {3,2} & + & \\ & & \ epsilon_ {i31} v_ {1,3} & + & \ epsilon_ {i32} v_ {2,3} & + & \ epsilon_ {i33} v_ {3,3} } \]

      Локоны с использованием тензорной записи

      Чтобы получить компонент y th curl, установите \ (i \) равным 2 в приведенном выше уравнении.

      \ [ \ matrix { \ epsilon_ {2jk} v_ {k, j} & = & \ epsilon_ {211} v_ {1,1} & + & \ epsilon_ {212} v_ {2,1} & + & \ epsilon_ {213} v_ {3,1} & + & \\ & & \ epsilon_ {221} v_ {1,2} & + & \ epsilon_ {222} v_ {2,2} & + & \ epsilon_ {223} v_ {3,2} & + & \\ & & \ epsilon_ {231} v_ {1,3} & + & \ epsilon_ {232} v_ {2,3} & + & \ epsilon_ {233} v_ {3,3} } \]
      Все индексы теперь указаны, и это позволяет вычислять все чередующиеся тензоры.Все они будут равны нулю, кроме двух, оставив

      \ [ \ epsilon_ {2jk} v_ {k, j} \; знак равно v_ {1,3} — v_ {3,1} \; знак равно \ frac {\ partial \, v_x} {\ partial z} — \ frac {\ partial \, v_z} {\ partial x} \]
      , что снова согласуется с определяющим результатом (как и должно быть). Результаты для компонентов x th и z th получаются установкой \ (i \) равным 1 и 3 соответственно.

      Пример Curl — вращающийся диск

      Рассмотрим диск, вращающийся вокруг оси \ (z \), такой, что

      \ [ \ begin {eqnarray} x & = & X \ cos (\ omega \, t) — Y \ sin (\ omega \, t) \\ y & = & X \ sin (\ omega \, t) + Y \ cos (\ omega \, t) \\ z & = & Z \ end {eqnarray} \]
      где \ ({\ bf X} \) — вектор исходных координат каждой точки в \ (t = 0 \), а \ ({\ bf x} \) — вектор координат этой точки в любое другое время, \ (t \).

      Обратите внимание, что в механике сплошной среды обычно используется \ ({\ bf X} \) в качестве позиции вектор в точке \ (t = 0 \), так называемая эталонная конфигурация , и \ ({\ bf x} \) для вектора положения после любых перемещений, поворотов и деформаций, так называемая текущая конфигурация .

      Вектор скорости

      \ [ {\ bf v} = {\ partial {\ bf x} \ over \ partial t} = \оставили( \ begin {eqnarray} & — \ omega X \ sin (\ omega \, t) — \ omega Y \ cos (\ omega \, t) \\ & + \ omega X \ cos (\ omega \, t) — \ omega Y \ sin (\ omega \, t) \\ & 0 \ end {eqnarray} \верно) \]
      , что упрощает

      \ [ {\ bf v} = (- \ omega \, y, \ omega \, x, 0) \]
      , что позволяет относительно просто вычислить ротор вектора скорости.

      \ [ \ nabla \ times {\ bf v} = (0, 0, 2 \ omega) \]
      Как сказано выше, завиток связан с поворотами. Оказывается, \ (\ nabla \ times {\ bf v} \) задает ось вращения, а \ (\ frac {1} {2} | \ nabla \ times {\ bf v} | \) — скорость вращения. Итак, \ (\ frac {1} {2} (\ nabla \ times {\ bf v}) \) дает

      \ [ \ frac {1} {2} (\ nabla \ times {\ bf v}) = (0, 0, \ omega) \]


      Лапласиан

      Лапласиан — это дивергенция градиента функции.2 \! е ({\ bf x}) = \ nabla \ cdot \ nabla f ({\ bf x}) = 12 x y + z \ sin (y) \]


      Производные продуктов Vector

      Дифференциация векторных произведений (точечных, перекрестных и диадических) выполняется по тем же правилам, что и дифференциация скалярных произведений. Например, производная от скалярного произведения равна

      \ [ {d \ over dt} ({\ bf a} \ cdot {\ bf b}) = {d \, {\ bf a} \ over dt} \ cdot {\ bf b} + {\ bf a} \ cdot { d \, {\ bf b} \ over dt} \]
      , а производная от перекрестного произведения

      \ [ {d \ over dt} ({\ bf a} \ times {\ bf b}) = {d \, {\ bf a} \ over dt} \ times {\ bf b} + {\ bf a} \ times { d \, {\ bf b} \ over dt} \]
      , а производное диадического произведения

      \ [ {d \ over dt} ({\ bf a} \ otimes {\ bf b}) = {d \, {\ bf a} \ over dt} \ otimes {\ bf b} + {\ bf a} \ otimes { d \, {\ bf b} \ over dt} \]

      Пример производной скалярного произведения

      Предположим, что \ ({\ bf a} = (5t, \ sin t, e ^ t) \) и \ ({\ bf b} = (t ^ 2, \ sin t, 6t) \), тогда

      \ [ {\ bf a} \ cdot {\ bf b} = 5 t ^ 3 + \ sin ^ 2 t + 6t e ^ t \]
      , а производная —

      \ [ {d \ over dt} ({\ bf a} \ cdot {\ bf b}) = 15 t ^ 2 + 2 \ sin t \ cos t + 6 (t + 1) e ^ t \]
      Применение правила дифференцирования произведения дает тот же результат. т \ end {eqnarray} \]



      Учебники

      Ошибка разрыва связи

        Приборная панель

        MATH-2210-001-F15

        Перейти к содержанию Приборная панель
        • Авторизоваться

        • Приборная панель

        • Календарь

        • Входящие

        • История

        • Помощь

        Закрывать