Завитки в векторе: Изображения Орнамент | Бесплатные векторы, стоковые фото и PSD

Итак, любая функция, указанная после \ (\ nabla \), подставляется в частные производные.Также обратите внимание, что когда мы смотрим на это в этом свете, мы просто получаем вектор градиента.

Используя \ (\ nabla \), мы можем определить локон как следующее перекрестное произведение:

\ [{\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F = \ nabla \ times \ vec F = \ left | {\ begin {array} {* {20} {c}} {\ vec i} & {\ vec j} & {\ vec k} \\ {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial x}} } & {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial y}}} & {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial z}}} \\ P & Q & R \ end {array}} \ right | \ ]

У нас есть пара интересных фактов, в которых используется завиток векторного поля.

Факты

1. Если \ (f \ left ({x, y, z} \ right) \) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то \ ({\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ left ({\ nabla f} \ справа) = \ vec 0 \). Это достаточно легко проверить, подключившись к определению производной, поэтому мы предоставим вам ее проверить.
2. Если \ (\ vec F \) — консервативное векторное поле, то \ ({\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F = \ vec 0 \). Это прямой результат того, что значит быть консервативным векторным полем, и предыдущего факта.2} \, \ vec k \) — консервативное векторное поле. Показать решение

   Итак, все, что нам нужно сделать, это вычислить локон и посмотреть, получим ли мы нулевой вектор или нет.

   \ [\ begin {align *} {\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F & = \ left | {\ begin {array} {* {20} {c}} {\ vec i} & {\ vec j} & {\ vec k} \\ {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial x}} } & {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial y}}} & {\ displaystyle \ frac {\ partial} {{\ partial z}}} \\ {{x ^ 2} y} & {xyz } & {- {x ^ 2} {y ^ 2}} \ end {array}} \ right | \\ & = — 2 {x ^ 2} y \, \ vec i + yz \, \ vec k — \ left ({- 2x {y ^ 2} \, \ vec j} \ right) — xy \, \ vec i — {x ^ 2} \ vec k \\ & = — \ left ({2 {x ^ 2} y + xy} \ right) \ vec i + 2x {y ^ 2} \, \ vec j + \ left ({yz — {x ^ 2}} \ right) \ vec k \\ & \ ne \ vec 0 \ конец {выравнивание *} \]

   Итак, локон не является нулевым вектором, и поэтому это векторное поле неконсервативно.

   Далее мы должны поговорить о физической интерпретации локона. Предположим, что \ (\ vec F \) — поле скоростей текущей жидкости. Тогда \ ({\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F \) представляет тенденцию частиц в точке \ (\ left ({x, y, z} \ right) \) вращаться вокруг оси, которая указывает в направлении \ ({\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F \). Если \ ({\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F = \ vec 0 \), то жидкость называется безвихревой.

   Теперь поговорим о второй новой концепции в этом разделе.Для векторного поля \ (\ vec F = P \, \ vec i + Q \, \ vec j + R \, \ vec k \) определена дивергенция, равная

   \ [{\ mathop {\ rm div} \ nolimits} \ vec F = \ frac {{\ partial P}} {{\ partial x}} + \ frac {{\ partial Q}} {{\ partial y}} + \ frac {{\ partial R}} {{\ partial z}} \]

   Существует также определение дивергенции в терминах оператора \ (\ nabla \). Расхождение можно определить с помощью следующего скалярного произведения. 2} \, \ vec k \) Показать решение

   Здесь действительно особо нечего делать, кроме как вычислить расхождение.2}} \ right) = 2z — 2z = 0 \]

   У нас также есть физическая интерпретация расхождения. Если мы снова подумаем о \ (\ vec F \) как о поле скоростей текущей жидкости, тогда \ ({\ mathop {\ rm div} \ nolimits} \ vec F \) представляет собой чистую скорость изменения массы жидкость, текущая из точки \ (\ left ({x, y, z} \ right) \) на единицу объема. Это также можно рассматривать как тенденцию жидкости отклоняться от точки. Если \ ({\ mathop {\ rm div} \ nolimits} \ vec F = 0 \), то \ (\ vec F \) называется несжимаемым.2} = \ nabla \ centerdot \ nabla \]

   Оператор Лапласа возникает естественным образом во многих областях, включая теплопередачу и поток жидкости.

   Последняя тема в этом разделе — дать две векторные формы теоремы Грина. Первая форма использует локон векторного поля и равна

   .

   \ [\ oint_ {C} {{\ vec F \ centerdot d \, \ vec r}} = \ iint \ limits_ {D} {{\ left ({{\ mathop {\ rm curl} \ nolimits} \ vec F } \ right) \ centerdot \ vec k \, dA}} \]

   , где \ (\ vec k \) — стандартный единичный вектор в положительном направлении \ (z \).

   Вторая форма использует дивергенцию. В этом случае нам также понадобится внешняя единичная нормаль к кривой \ (C \). Если кривая параметризована

   \ [\ vec r \ left (t \ right) = x \ left (t \ right) \ vec i + y \ left (t \ right) \ vec j \]

   , тогда нормальный внешний вид равен,

   \ [\ vec n = \ frac {{y ‘\ left (t \ right)}} {{\ left \ | {\ vec r ‘\ left (t \ right)} \ right \ |}} \ vec i — \ frac {{x’ \ left (t \ right)}} {{\ left \ | {\ vec r ‘\ left (t \ right)} \ right \ |}} \ vec j \]

   Вот эскиз, показывающий внешнюю единичную нормаль для некоторой кривой \ (C \) в различных точках.

   Векторная форма теоремы Грина, в которой используется дивергенция, имеет вид,

   \ [\ oint_ {C} {{\ vec F \ centerdot \ vec n \, ds}} = \ iint \ limits_ {D} {{{\ mathop {\ rm div} \ nolimits} \ vec F \, dA} } \]

   Дивергенция и изгиб вектора Feild

   РАЗЛИЧИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

   Дивергенция вектора в данной точке векторного поля является скаляром и определяется как величина потока, расходящегося от элемента единичного объема в секунду. вокруг этой точки.

   Расхождение вектора в точке может быть положительным, если силовые линии расходятся или выходят из небольшого объема, окружающего точку.

   С другой стороны, если силовые линии сходятся в небольшой объем, окружающий точку, расхождение вектора отрицательное. Если скорость, с которой силовые линии входят в небольшой объем, окружающий точку, равна скорости, с которой они покидают этот небольшой объем, то расхождение вектора равно нулю.

   , то есть div A = 0.

   Аналитически

   Если вектор A является функцией x, y и z, то

   A = Axi + Ayj + Azk

   Оператор Λ в декартовых координатах выражается как

   = id / dx + jd / dy + kd / dz

   Скалярное произведение оператора. A — это , записанное как

   Таким образом, расхождение вектора является скаляром.

   .A = div A = dAx / dx + dAy / dy + dAz / dz

   Соленоидальный вектор:

   Любой вектор A , дивергенция которого равна нулю, называется соленоидальным вектором, который равен

   . A = div A = 0

   ЗАВЕРШЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

   Физический смысл:

   Завиток вектора в любой точке является вектором. Curl — это мера того, насколько вектор изгибается вокруг рассматриваемой точки.

   Аналитически:

   Поворот вектора A определяется как векторное произведение или векторное произведение оператора (del) и A. Следовательно,

   Curl вектора является вектором.

   Пример . Когда твердое тело вращается вокруг фиксированной оси, ротор линейной скорости точки на теле представляет собой удвоенную угловую скорость.

   Векторное поле вращения : любое векторное поле, ротор которого не равен нулю, называется векторным полем вращения.

   Безвихревое векторное поле : любое векторное поле, ротор которого равен нулю, называется безвихревым векторным полем.

   Curl — Исчисление 3

   Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы вуза предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

   Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

   Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

   Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

   Вы должны включить следующее:

   Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного расположения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) что вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

   Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

   Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
   101 S. Hanley Rd, Suite 300
   St. Louis, MO 63105
   

   Или заполните форму ниже:

   Поиск завитка векторного поля: шаги и инструкции

   Окончательные результаты

   Уравнение локона в каждой из наших систем координат:

   Декартова система координат

   Цилиндрическая система координат

   Сферическая система координат

   Приложение

   Допустим, у нас есть вид сверху на векторное поле с некоторой наглядной циркуляцией:

   Циркуляция по часовой стрелке в векторном поле

   Ось z направлена ​​вне плоскости. Используя правило правой руки, вращение по часовой стрелке указывает на плоскость x — y . Таким образом, мы ожидаем, что направление завитка будет отрицательным z .

   Локон в декартовых координатах

   В декартовых координатах это конкретное векторное поле v :

   В декартовой системе координат формула локона:

   Определите компоненты вектора v 1, v 2 и v 3:

   Оценка всех необходимых частных производных:

   Подставляем в формулу локона:

   Упрощение:

   Как и ожидалось, циркуляция указывает на направление — z , и мы видим, что величина равна 2.

   Локон в цилиндрических координатах

   Найдите локон

   (Это то же самое v , но выражено в цилиндрических координатах.)

   Запишите формулу скручивания:

   Идентификация компонентов вектора:

   Оценка всех необходимых частных производных:

   Подставляем в формулу локона:

   Упрощение:

   Это тот же результат, что и раньше, потому что направление z одинаково как в декартовой, так и в цилиндрической системах координат. Обычно выбор системы координат выбирается в соответствии с полем. В противном случае будет получен последовательный ответ, но потребуется дополнительная работа. Давайте исследуем это, вычислив ротор того же поля, но в сферической системе координат.

   Завиток в сферических координатах

   Найдите завиток

   (опять то же самое векторное поле, но записанное в сферических координатах.)

   Запишите формулу локона:

   Определение компонентов вектора:

   Оценка всех необходимых частных производных:

   Подставить в формулу curl:

   Упрощение:

   Этот ответ более сложен, потому что симметрия векторного поля не подходила для сферических координат. Обратите внимание, что результат зависит только от значения θ и не зависит от r и φ . Итак, мы рассмотрим этот результат, проверив некоторые конкретные значения θ :

   • для θ = 90o, косинус равен нулю, а синус равен 1.

   Единичный вектор для компонента θ указывает в направлении увеличения θ . При θ = 90o это направление находится в отрицательном направлении z .

   • для θ = 0o, косинус равен 1, а синус равен 0.

   Этот результат также согласуется с предыдущими результатами: изгиб указывает в отрицательном направлении z и имеет величину 2.

   Завиток

   Оператор Curl

   Что означает оператор curl в 3-м и 4-м уравнениях Максвелла? Что именно значение символа del с x рядом с ним, как видно в уравнении [1]?

   		[Уравнение 1]

   Завиток — это мера вращения векторное поле. Чтобы понять это, мы снова будем использовать аналогию с текущей водой для представления векторная функция (или векторное поле). На рисунке 1 у нас есть векторная функция ( V ) и мы хотим знать, вращается ли поле в точке D (то есть мы хотим знать, равен ли изгиб нулю).

   Рисунок 1. Пример векторного поля, окружающего точку.

   Чтобы определить, вращается ли поле, представьте водяное колесо в точке D. Если векторное поле, представляющее поток воды, будет вращать водяное колесо, то ротор не равен нулю:

   Фигура 2.Пример векторного поля, окружающего водяное колесо, создающее вращение.

   На рисунке 2 мы видим, что водяное колесо будет вращаться по часовой стрелке. Следовательно, это векторное поле имело бы ротор в точке D.

   Теперь мы должны все усложнить. Изгиб на Рисунке 2 положительный или отрицательный и в каком направлении? Поскольку мы наблюдаем завиток, который вращает водяное колесо в плоскости x-y, направление завитка за ось z (перпендикулярную плоскости водяного колеса). Кроме того, локон следует Правило правой руки: если ваш большой палец указывает в направлении + z, то ваша правая рука будет сгибаться вокруг ось в направлении положительного завитка. На Рисунке 2 изгиб будет положительным, если водяное колесо вращается против часовой стрелки. Завиток будет отрицательным, если водяное колесо вращается в по часовой стрелке.

   На рисунке 2 водяное колесо вращается по часовой стрелке. Следовательно, z-компонента ротора для векторного поля на рисунке 1 отрицательный.

   Как вы понимаете, curl также имеет x- и y-компоненты. Следовательно, ротор действует на векторное поле и результат — трехмерный вектор. То есть, если мы знаем векторное поле, мы можем оценить локон в любом point — и результатом будет вектор (представляющий направления x, y и z).

   Давайте сделаем еще один пример с новым поворотом. Представьте, что векторное поле F на рисунке 3 имеет поля, направленные по оси z. Пусть символ представляет вектор в направлении + z. а символ представляет вектор в направлении -z:

   Рисунок 3.Векторное поле с энергией, направленной по оси Z — вращается ли колесо ?.

   Будет ли колесо вращаться, если вода течет вверх или вниз по нему? Ответ — нет. Только x- и y- направленные векторы могут вызвать вращение колеса, когда колесо находится в плоскости x-y. Следовательно, z-направленное векторные поля можно игнорировать для определения z-компоненты локона.

   Теперь давайте рассмотрим больше примеров, чтобы убедиться, что мы понимаем завиток. Что уж говорить о локонах векторного поля J в точке G на рисунке 4?

   Рисунок 4.Векторное поле в плоскости Y-Z.

   Изгиб положительный, отрицательный или нулевой на рисунке 4? И в каком направлении? Во-первых, поскольку водяное колесо находится в плоскости y-z, направление завитка (если оно не равно нулю) будет вдоль ось абсцисс. Теперь мы хотим знать, является ли локон положительным (вращение против часовой стрелки) или если локон отрицательный (вращение по часовой стрелке).

   Красный вектор на рисунке 4 находится в направлении + y. Однако это не будет вращать водяное колесо, потому что оно направлено прямо в центр колеса и не будет производить вращения.Зеленый вектор на рисунке 4 будет попробуйте повернуть водяное колесо по часовой стрелке, но черный вектор будет пытаться вращать водяное колесо против часовой стрелки — поэтому зеленый вектор и черный вектор компенсируют и производят нет вращения. Однако коричневый вектор будет вращать водяное колесо. против часовой стрелки. Следовательно, суммарный эффект всех векторов на рисунке 4 вращение против часовой стрелки. В результате изгиб на Рисунке 4 положительный и в + x-направлении.

   В общем, векторное поле будет иметь [x, y, z] компонентов. Полученный локон тоже вектор с [x, y, z] компонентами. Сложно рисовать трехмерные поля водяными колесами во всех 3 направлениях, но если вы понимаете приведенные выше примеры, вы можете обобщить 2-D идеи выше в 3-х измерениях. Теперь мы представим полное математическое определение локона.

   Математическое определение завитка

   Допустим, у нас есть векторное поле A (x, y, z), и мы хотим определить локон.Векторное поле A представляет собой трехмерный вектор (с компонентами x, y и z). То есть, мы можем написать A как:

   		[Уравнение 2]

   Изгиб A определяется следующим образом:

   		[Уравнение 3]

   В уравнении [3] — единичный вектор в направлении + x, является единичным вектором в направлении + y и является единичным вектором в направлении + z. (единичный вектор — это вектор с величиной, равной 1).Такие термины, как:

   		[Уравнение 4]

   Операторы скорости изменения известны как частные производные. Для получения дополнительной информации см. то страница частной производной.

   Как видите, завиток выписать очень сложно. Но физический смысл может быть интуитивно понятно из приведенного выше обсуждения. Проще говоря, уравнение [3] говорит:

   		[Уравнение 5]

   Таким образом, локон является мерой вращения поля и полностью определяет трехмерное пространство. вращения мы получаем трехмерный результат (завиток в уравнении [3]).Давайте посмотрим на математический пример векторного поля и вычисления локона. Предположим, у нас есть векторное поле H (x, y, z) определяется по формуле:

   		[Уравнение 6]

   Теперь, чтобы получить ротор H в уравнении [6], нам нужно вычислить все частные производные ниже:

   		[Уравнение 7]

   Использование результатов уравнения [7] в определении ротации в уравнении [3] дает ротор H :

   		[Уравнение 8]

   Итак, у нас есть curl H в уравнении [8]. Обратите внимание, что изгиб H также является векторным функция. Таким образом, мы можем сказать, что новый вектор (назовем его V ) — это завиток H . Следовательно, V можно вычислить в любой точке пространства (x, y, z). Например, x-компонента of V всегда будет иметь Vx = -1. Аналогично Vy = -1. Но Vz зависит от x. Следовательно, V (3,4,0) будет иметь Vz = 0, но V (3,4, 0.5) будет иметь Vz = 2 * pi.

   ---

   Это дает вам всю необходимую информацию о локонах.Важно помнить состоят в том, что curl работает с векторной функцией и возвращает векторную функцию. Получившийся локон является мерой вращения поля по 3 главной оси (x-, y-, z-).

   ---

   Уравнения Максвелла Эта страница в curl (оператор curl или вращения) защищена авторским правом, особенно приложение к уравнениям Максвелла. Никакая часть не может быть воспроизведена без разрешения автора. Авторские права Maxwells-Equations.com, 2012-2016. 2} \ right) \ qquad \ = \ qquad \ ddot {\ bf x} \ qquad = \ qquad \ ddot {x} _i \ qquad = \ qquad x_ {i , tt} \]
   Можно использовать производную по \ (\; t \), или точку, которая, вероятно, является наиболее популярной, или запятую, которая является популярным подмножеством тензорной записи.{3т}) \]

   Пример спирали

   Положение муравья, ползающего по трубе и поднимающегося вверх, определяется выражением \ ({\ bf x} = (2 \ cos t, 2 \ sin t, 5t) \). Скорость \ ({\ bf v} \) равна

   \ [ \ dot {\ bf x} = {\ bf v} = (-2 \ sin t, 2 \ cos t, 5) \]
   и ускорение

   \ [ \ ddot {\ bf x} = \ dot {\ bf v} = {\ bf a} = (-2 \ cos t, -2 \ sin t, 0) \]
   , который всегда указывает в сторону центра трубы.

   ---

   Дифференциация по координате

   Предположим, вы хотите дифференцировать функцию \ (f (x, y, z) \) относительно \ (y \).Это записывается как

   \ [ {\ partial f \ over \ partial y} \ quad \ qquad \ text {или} \ qquad \ quad {\ partial f \ over \ partial x_2} \ quad \ qquad \ text {или} \ qquad \ quad f _ {, 2} \]
   где запятая — это обычное тензорное обозначение производной.

   В более общем случае дифференцирование по \ (x_j \) есть (да, это градиент)

   \ [ {\ partial f \ over \ partial x_j} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad f, _j \]
   Дифференцирование вектора \ ({\ bf v} \) есть

   \ [ {\ partial {\ bf v} \ over \ partial x_j} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad \ left ({\ partial \, v_x \ over \ partial x_j}, {\ partial \, v_y \ over \ partial x_j}, {\ partial \, v_z \ over \ partial x_j} \ right) \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad v_ {i, j} \]
   Дифференцирование тензора \ (\ boldsymbol {\ sigma} \) есть

   \ [ {\ partial \ boldsymbol {\ sigma} \ over \ partial x_k} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad \ sigma_ {ij, k} \]
   Как и в случае с векторами, каждый компонент тензора дифференцируется.2) \]

   ---

   Градиент

   Градиент функции \ (f ({\ bf x}) \) записывается как \ (\ nabla f ({\ bf x}) \) и является вектором. Он формируется путем дифференцирования функции по каждой координате.

   \ [ \ nabla f ({\ bf x}) = \ left ({\ partial f \ over \ partial x_1}, {\ partial f \ over \ partial x_2}, {\ partial f \ over \ partial x_3} \ right) \]

   Тензорная запись

   Градиент также можно записать как \ ({\ partial f \ over \ partial x_i} \) или просто как \ (е _ {, я} \).2 \). Градиент at \ ({\ bf x} = (5,3) \) является

   \ [ \ nabla f (x, y) \ quad = \ quad (4x, 2y) \ quad = \ quad (20, 6) \]
   Следовательно, при \ ({\ bf x} = (5,3) \) \ (f \) увеличивается со скоростью 20 по оси \ (x \) и со скоростью 6 по оси \ (y \). \ (20 {\ bf i} + 6 {\ bf j} \) также соответствует направлению в плоскости \ (x, y \) по которой \ (f \) будет расти быстрее всего.

   Также можно вычислить градиенты векторов. Результат будет тензор 2-го порядка.Например, градиент поля скорости записывается как \ (\ набла {\ bf v} \). Запись в тензорной записи \ (v_ {i, j} \) показывает более ясно, что результатом является тензор 2-го порядка из-за наличия индексов \ (i \) и \ (j \). Градиенты возникают при механической деформации и приложения теплопроводности. Механические деформации связаны с градиенты перемещений а теплопроводность связана с градиентом распределения температуры.

   ---

   Дивергенция

   Дивергенция вектора — это скалярный результат, а дивергенция вектора Тензор 2-го порядка — это вектор.Расходимость вектора записывается как \ (\ nabla \ cdot {\ bf v} \) или \ (v_ {i, i} \) в тензорной записи. это вычисляется как

   \ [ \ begin {eqnarray} \ nabla \ cdot {\ bf v} & = & ( {\ partial \ over \ partial x} {\ bf i} + {\ partial \ over \ partial y} {\ bf j} + {\ partial \ over \ partial z} {\ bf k}) \ cdot (v_x {\ bf i} + v_y {\ bf j} + v_z {\ bf k}) \\ \\ знак равно {\ partial v_x \ over \ partial x} + {\ partial v_y \ over \ partial y} + {\ partial v_z \ over \ partial z} \ end {eqnarray} \]

   Тензорная запись

   Как указано выше, расходимость записывается в тензорной записи как \ (v_ {i, i} \).3 — з) \ quad = \ quad 6x — 1 \]
   Расхождение векторов скорости часто возникает при обсуждении несжимаемости. и сохранение массы.

   ---

   Завиток

   curl вектора — это произведение частных производных на вектор. Завитки возникают, когда важны вращения, как это обычно бывает с перекрестными произведениями векторов. Вращения твердых тел автоматически влекут за собой большие перемещения, которые, в свою очередь, автоматически подразумевают нелинейный анализ. И поэтому кудри встречаются редко… потому что большинство анализов линейны.

   Кудри рассчитываются следующим образом.

   \ [ \ begin {eqnarray} \ nabla \ times {\ bf v} & = & ( {\ partial \ over \ partial x} {\ bf i} + {\ partial \ over \ partial y} {\ bf j} + {\ partial \ over \ partial z} {\ bf k}) \ times (v_x {\ bf i} + v_y {\ bf j} + v_z {\ bf k}) \\ \\ знак равно \ left | \ matrix { {\ bf i \;} & {\ bf j \;} & {\ bf k \;} \\ {\ partial \ over \ partial x} & {\ partial \ over \ partial y} & {\ partial \ over \ partial z} \\ v_x и v_y и v_z } \ right | \\ \\ знак равно ({\ partial \, v_z \ over \ partial y} — {\ partial \, v_y \ over \ partial z}) {\ bf i} + ({\ partial \, v_x \ over \ partial z} — {\ partial \, v_z \ over \ partial x}) {\ bf j} + ({\ partial \, v_y \ over \ partial x} — {\ partial \, v_x \ over \ partial y}) {\ bf k} \ end {eqnarray} \]

   Тензорная запись локонов

   Ротор вектора записывается в тензорной записи как \ (\ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} \). Очень важно понимать, что вектор здесь записывается как \ (v_ {k, j} \), а не как \ (v_ {j, k} \). Это потому, что локон равен \ (\ nabla \ times {\ bf v} \), а не \ ({\ bf v} \ times \ nabla \).

   Простой способ получить правильную тензорную нотацию — это подумать о \ (\ nabla \ times {\ bf v} \) как \ (\ epsilon_ {ijk} \ nabla_j v_k \) и обратите внимание на порядок индексы. Конечно, это сводится к правильному результату: \ (\ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} \).

   
   Как и в случае с перекрестными произведениями, тот факт, что \ (j \) и \ (k \) встречаются дважды в \ (\ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} \) означает, что оба автоматически суммируются от 1 до 3.Термин расширяется до

   \ [ \ matrix { \ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} & = & \ epsilon_ {i11} v_ {1,1} & + & \ epsilon_ {i12} v_ {2,1} & + & \ epsilon_ {i13} v_ {3,1} & + & \\ & & \ epsilon_ {i21} v_ {1,2} & + & \ epsilon_ {i22} v_ {2,2} & + & \ epsilon_ {i23} v_ {3,2} & + & \\ & & \ epsilon_ {i31} v_ {1,3} & + & \ epsilon_ {i32} v_ {2,3} & + & \ epsilon_ {i33} v_ {3,3} } \]

   Локоны с использованием тензорной записи

   Чтобы получить компонент y ^th curl, установите \ (i \) равным 2 в приведенном выше уравнении.

   \ [ \ matrix { \ epsilon_ {2jk} v_ {k, j} & = & \ epsilon_ {211} v_ {1,1} & + & \ epsilon_ {212} v_ {2,1} & + & \ epsilon_ {213} v_ {3,1} & + & \\ & & \ epsilon_ {221} v_ {1,2} & + & \ epsilon_ {222} v_ {2,2} & + & \ epsilon_ {223} v_ {3,2} & + & \\ & & \ epsilon_ {231} v_ {1,3} & + & \ epsilon_ {232} v_ {2,3} & + & \ epsilon_ {233} v_ {3,3} } \]
   Все индексы теперь указаны, и это позволяет вычислять все чередующиеся тензоры.Все они будут равны нулю, кроме двух, оставив

   \ [ \ epsilon_ {2jk} v_ {k, j} \; знак равно v_ {1,3} — v_ {3,1} \; знак равно \ frac {\ partial \, v_x} {\ partial z} — \ frac {\ partial \, v_z} {\ partial x} \]
   , что снова согласуется с определяющим результатом (как и должно быть). Результаты для компонентов x ^th и z ^th получаются установкой \ (i \) равным 1 и 3 соответственно.

   Пример Curl — вращающийся диск

   Рассмотрим диск, вращающийся вокруг оси \ (z \), такой, что

   \ [ \ begin {eqnarray} x & = & X \ cos (\ omega \, t) — Y \ sin (\ omega \, t) \\ y & = & X \ sin (\ omega \, t) + Y \ cos (\ omega \, t) \\ z & = & Z \ end {eqnarray} \]
   где \ ({\ bf X} \) — вектор исходных координат каждой точки в \ (t = 0 \), а \ ({\ bf x} \) — вектор координат этой точки в любое другое время, \ (t \).

   Обратите внимание, что в механике сплошной среды обычно используется \ ({\ bf X} \) в качестве позиции вектор в точке \ (t = 0 \), так называемая эталонная конфигурация , и \ ({\ bf x} \) для вектора положения после любых перемещений, поворотов и деформаций, так называемая текущая конфигурация .

   Вектор скорости

   \ [ {\ bf v} = {\ partial {\ bf x} \ over \ partial t} = \оставили( \ begin {eqnarray} & — \ omega X \ sin (\ omega \, t) — \ omega Y \ cos (\ omega \, t) \\ & + \ omega X \ cos (\ omega \, t) — \ omega Y \ sin (\ omega \, t) \\ & 0 \ end {eqnarray} \верно) \]
   , что упрощает

   \ [ {\ bf v} = (- \ omega \, y, \ omega \, x, 0) \]
   , что позволяет относительно просто вычислить ротор вектора скорости.

   \ [ \ nabla \ times {\ bf v} = (0, 0, 2 \ omega) \]
   Как сказано выше, завиток связан с поворотами. Оказывается, \ (\ nabla \ times {\ bf v} \) задает ось вращения, а \ (\ frac {1} {2} | \ nabla \ times {\ bf v} | \) — скорость вращения. Итак, \ (\ frac {1} {2} (\ nabla \ times {\ bf v}) \) дает

   \ [ \ frac {1} {2} (\ nabla \ times {\ bf v}) = (0, 0, \ omega) \]
   

   ---

   Лапласиан

   Лапласиан — это дивергенция градиента функции.2 \! е ({\ bf x}) = \ nabla \ cdot \ nabla f ({\ bf x}) = 12 x y + z \ sin (y) \]

   ---

   Производные продуктов Vector

   Дифференциация векторных произведений (точечных, перекрестных и диадических) выполняется по тем же правилам, что и дифференциация скалярных произведений. Например, производная от скалярного произведения равна

   \ [ {d \ over dt} ({\ bf a} \ cdot {\ bf b}) = {d \, {\ bf a} \ over dt} \ cdot {\ bf b} + {\ bf a} \ cdot { d \, {\ bf b} \ over dt} \]
   , а производная от перекрестного произведения

   \ [ {d \ over dt} ({\ bf a} \ times {\ bf b}) = {d \, {\ bf a} \ over dt} \ times {\ bf b} + {\ bf a} \ times { d \, {\ bf b} \ over dt} \]
   , а производное диадического произведения

   \ [ {d \ over dt} ({\ bf a} \ otimes {\ bf b}) = {d \, {\ bf a} \ over dt} \ otimes {\ bf b} + {\ bf a} \ otimes { d \, {\ bf b} \ over dt} \]
   

   Пример производной скалярного произведения

   Предположим, что \ ({\ bf a} = (5t, \ sin t, e ^ t) \) и \ ({\ bf b} = (t ^ 2, \ sin t, 6t) \), тогда

   \ [ {\ bf a} \ cdot {\ bf b} = 5 t ^ 3 + \ sin ^ 2 t + 6t e ^ t \]
   , а производная —

   \ [ {d \ over dt} ({\ bf a} \ cdot {\ bf b}) = 15 t ^ 2 + 2 \ sin t \ cos t + 6 (t + 1) e ^ t \]
   Применение правила дифференцирования произведения дает тот же результат. т \ end {eqnarray} \]

   
   

   ---

   Учебники

   Ошибка разрыва связи

   Приборная панель

   MATH-2210-001-F15

   Перейти к содержанию Приборная панель

   • Авторизоваться

   • Приборная панель

   • Календарь

   • Входящие

   • История

   • Помощь

   Закрывать
   • Мой Dashboard
   • MATH-2210-001-F15
   ОСЕНЬ 2015
   • Домашняя страница
   • Задания
   • Галерея мультимедиа
   • Мои медиа
   • Google Drive
   • MySuccess
   • Онлайн-обучение
   • Follett Discover
   • Office 365
   • EvaluationKIT Course
   • Список для чтения

   К сожалению, вы обнаружили неработающую ссылку!

   .