Линии в векторе: Редактирование и перерисовка контуров в Illustrator

Редактирование и перерисовка контуров в Illustrator

1. Руководство пользователя Illustrator
2. Основы работы с Illustrator
   1. Введение в Illustrator
      1. Новые возможности в приложении Illustrator
      2. Часто задаваемые вопросы
      3. Системные требования Illustrator
      4. Illustrator для Apple Silicon
   2. Рабочая среда
      1. Основные сведения о рабочей среде
      2. Ускоренное обучение благодаря панели «Обзор» в Illustrator
      3. Создание документов
      4. Панель инструментов
      5. Комбинации клавиш по умолчанию
      6. Настройка комбинаций клавиш
      7. Общие сведения о монтажных областях
      8. Управление монтажными областями
      9. Настройка рабочей среды
      10. Панель свойств
      11. Установка параметров
      12. Рабочая среда «Сенсорное управление»
      13. Поддержка Microsoft Surface Dial в Illustrator
      14. Отмена изменений и управление историей дизайна
      15. Повернуть вид
      16. Линейки, сетки и направляющие
      17. Специальные возможности в Illustrator
      18. Безопасный режим
      19. Просмотр графических объектов
      20. Работа в Illustrator с использованием Touch Bar
      21. Файлы и шаблоны
   3. Инструменты в Illustrator
      1. Краткий обзор инструментов
      2. Выбор инструментов
         1. Выделение
            
         2. Частичное выделение
         3. Групповое выделение
         4. Волшебная палочка
         5. Лассо
         6. Монтажная область
      3. Инструменты для навигации
         1. Рука
         2. Повернуть вид
            
         3. Масштаб
      4. Инструменты рисования
         1. Градиент
            
         2. Сетка
         3. Создание фигур
      5. Текстовые инструменты
         1. Текст
            
         2. Текст по контуру
         3. Текст по вертикали
      6. Инструменты рисования
         1. Перо
         2. Добавить опорную точку
         3. Удалить опорные точки
         4. Опорная точка
         5. Кривизна
         6. Отрезок линии
         7. Прямоугольник
         8. Прямоугольник со скругленными углами
         9. Эллипс
         10. Многоугольник
         11. Звезда
         12. Кисть
         13. Кисть-клякса
         14. Карандаш
         15. Формирователь
         16. Фрагмент
      7. Инструменты модификации
         1. Поворот
         2. Отражение
         3. Масштаб
         4. Искривление
         5. Ширина
         6. Свободное трансформирование
         7. Пипетка
         8. Смешать
         9. Ластик
         10. Ножницы
   4. Быстрые действия
      1. Ретротекст
      2. Светящийся неоновый текст
      3. Старомодный текст
      4. Перекрашивание
      5. Преобразование эскиза в векторный формат
3. Illustrator на iPad
   1. Представляем Illustrator на iPad
      1. Обзор по Illustrator на iPad.
      2. Ответы на часто задаваемые вопросы по Illustrator на iPad
      3. Системные требования | Illustrator на iPad
      4. Что можно и нельзя делать в Illustrator на iPad
   2. Рабочая среда
      1. Рабочая среда Illustrator на iPad
      2. Сенсорные ярлыки и жесты
      3. Комбинации клавиш для Illustrator на iPad
      4. Управление настройками приложения
   3. Документы
      1. Работа с документами в Illustrator на iPad
      2. Импорт документов Photoshop и Fresco
   4. Выбор и упорядочение объектов
      1. Создание повторяющихся объектов
      2. Объекты с переходами
   5. Рисование
      1. Создание и изменение контуров
      2. Рисование и редактирование фигур
   6. Текст
      1. Работа с текстом и шрифтами
      2. Создание текстовых надписей по контуру
      3. Добавление собственных шрифтов
   7. Работа с изображениями
      1. Векторизация растровых изображений
   8. Цвет
      1. Применение цветов и градиентов
4. Облачные документы
   1. Основы работы
      1. Работа с облачными документами Illustrator
      2. Общий доступ к облачным документам Illustrator и совместная работа над ними
      3. Публикация документов для проверки
      4. Обновление облачного хранилища для Adobe Illustrator
      5. Облачные документы в Illustrator | Часто задаваемые вопросы
   2. Устранение неполадок
      1. Устранение неполадок с созданием или сохранением облачных документов в Illustrator
      2. Устранение неполадок с облачными документами в Illustrator
5. Добавление и редактирование содержимого
   1. Рисование
      1. Основы рисования
      2. Редактирование контуров
      3. Рисование графического объекта с точностью на уровне пикселов
      4. Рисование с помощью инструментов «Перо», «Кривизна» и «Карандаш»
      5. Рисование простых линий и фигур
      6. Трассировка изображения
      7. Упрощение контура
      8. Определение сеток перспективы
      9. Инструменты для работы с символами и наборы символов
      10. Корректировка сегментов контура
      11. Создание цветка в пять простых шагов
      12. Рисование перспективы
      13. Символы
      14. Рисование контуров, выровненных по пикселам, при создании проектов для Интернета
   2. 3D-объекты и материалы
      1. Подробнее о 3D-эффектах в Illustrator
         
      2. Создание трехмерной графики
         
      3. Проецирование рисунка на трехмерные объекты
      4. Создание трехмерного текста
      5. Создание трехмерных объектов
   3. Цвет
      1. О цвете
      2. Выбор цветов
      3. Использование и создание цветовых образцов
      4. Коррекция цвета
      5. Панель «Темы Adobe Color»
      6. Цветовые группы (гармонии)
      7. Панель «Темы Color»
      8. Перекрашивание графического объекта
   4. Раскрашивание
      1. О раскрашивании
      2. Раскрашивание с помощью заливок и обводок
      3. Группы с быстрой заливкой
      4. Градиенты
      5. Кисти
      6. Прозрачность и режимы наложения
      7. Применение обводок к объектам
      8. Создание и редактирование узоров
      9. Сетки
      10. Узоры
   5. Выбор и упорядочение объектов
      1. Выделение объектов
      2. Слои
      3. Группировка и разбор объектов
      4. Перемещение, выравнивание и распределение объектов
      5. Размещение объектов    
      6. Блокировка, скрытие и удаление объектов
      7. Копирование и дублирование объектов
      8. Поворот и отражение объектов
      9. Переплетение объектов
   6. Перерисовка объектов
      1. Кадрирование изображений
      2. Трансформирование объектов
      3. Объединение объектов
      4. Вырезание, разделение и обрезка объектов
      5. Марионеточная деформация
      6. Масштабирование, наклон и искажение объектов
      7. Объекты с переходами
      8. Перерисовка с помощью оболочек
      9. Перерисовка объектов с эффектами
      10. Создание фигур с помощью инструментов «Мастер фигур» и «Создание фигур»
      11. Работа с динамическими углами
      12. Улучшенные процессы перерисовки с поддержкой сенсорного ввода
      13. Редактирование обтравочных масок
      14. Динамические фигуры
      15. Создание фигур с помощью инструмента «Создание фигур»
      16. Глобальное изменение
   7. Текст
      1. Дополнение текстовых и рабочих объектов типами объектов
      2. Создание маркированного и нумерованного списков
      3. Управление текстовой областью
      4. Шрифты и оформление
      5. Определение и использование шрифтов из изображений и обведенного текста
      6. Форматирование текста
      7. Импорт и экспорт текста
      8. Форматирование абзацев
      9. Специальные символы
      10. Создание текста по контуру
      11. Стили символов и абзацев
      12. Табуляция
      13. Поиск отсутствующих шрифтов (технологический процесс Typekit)
      14. Шрифт для арабского языка и иврита
      15. Шрифты | Часто задаваемые вопросы и советы по устранению проблем
      16. Создание эффекта 3D-текста
      17. Творческий подход к оформлению
      18. Масштабирование и поворот текста
      19. Интерлиньяж и межбуквенные интервалы
      20. Расстановка переносов и переходы на новую строку
      21. Проверка орфографии и языковые словари
      22. Форматирование азиатских символов
      23. Компоновщики для азиатской письменности
      24. Создание текстовых проектов с переходами между объектами
      25. Создание текстового плаката с помощью трассировки изображения
   8. Создание специальных эффектов
      1. Работа с эффектами
      2. Стили графики
      3. Атрибуты оформления
      4. Создание эскизов и мозаики
      5. Тени, свечения и растушевка
      6. Обзор эффектов
   9. Веб-графика
      1. Лучшие методы создания веб-графики
      2. Диаграммы
      3. SVG
      4. Фрагменты и карты изображений
6. Импорт, экспорт и сохранение
   1. Импорт
      1. Помещение нескольких файлов в документ
      2. Управление связанными и встроенными файлами
      3. Сведения о связях
      4. Извлечение изображений
      5. Импорт графического объекта из Photoshop
      6. Импорт растровых изображений
      7. Импорт файлов Adobe PDF
      8. Импорт файлов EPS, DCS и AutoCAD
   2. Библиотеки Creative Cloud Libraries в Illustrator 
      1. Библиотеки Creative Cloud Libraries в Illustrator
   3. Диалоговое окно «Сохранить»
      1. Сохранение иллюстраций
   4. Экспорт
      1. Использование графического объекта Illustrator в Photoshop
      2. Экспорт иллюстрации
      3. Сбор ресурсов и их массовый экспорт
      4. Упаковка файлов
      5. Создание файлов Adobe PDF
      6. Извлечение CSS | Illustrator CC
      7. Параметры Adobe PDF
      8. Палитра «Информация о документе»
7. Печать
   1. Подготовка к печати
      1. Настройка документов для печати
      2. Изменение размера и ориентации страницы
      3. Задание меток обреза для обрезки и выравнивания
      4. Начало работы с большим холстом
   2. Печать
      1. Наложение
      2. Печать с управлением цветами
      3. Печать PostScript
      4. Стили печати
      5. Метки и выпуск за обрез
      6. Печать и сохранение прозрачных графических объектов
      7. Треппинг
      8. Печать цветоделенных форм
      9. Печать градиентов, сеток и наложения цветов
      10. Наложение белого
8. Автоматизация задач
   1. Объединение данных с помощью панели «Переменные»
   2. Автоматизация с использованием сценариев
   3. Автоматизация с использованием операций
9. Устранение неполадок 
   1. Проблемы с аварийным завершением работы
   2. Восстановление файлов после сбоя
   3. Проблемы с файлами
   4. Поддерживаемые форматы файлов
   5. Проблемы с драйвером ГП
   6. Проблемы устройств Wacom
   7. Проблемы с файлами DLL
   8. Проблемы с памятью
   9. Проблемы с файлом настроек
   10. Проблемы со шрифтами
   11. Проблемы с принтером
   12. Как поделиться отчетом о сбое с Adobe
   13. Повышение производительности Illustrator

Узнайте, как редактировать, перерисовывать, сглаживать и упрощать контуры с помощью различных инструментов, доступных в Illustrator.

Выделение контуров, отрезков и опорных точек

Прежде чем можно будет перерисовать или отредактировать контур, необходимо выделить его опорные точки и/или отрезки.

Выделение опорных точек

Выполните любое из следующих действий:

• Если точки видны, выберите их с помощью инструмента «Частичное выделение» . Для выбора нескольких точек удерживайте клавишу Shift.
• Выберите инструмент «Частичное выделение» и перетаскиванием обозначьте границу вокруг опорных точек. Удерживая нажатой клавишу Shift, выберите дополнительные опорные точки.
• Вы можете выбрать опорные точки в выделенном и невыделенном контуре. Перемещайте инструмент «Частичное выделение» над опорной точкой до тех пор, пока вместо указателя не отобразится пустой квадрат для невыделенного контура и заполненный квадрат для выделенного контура в увеличенном масштабе, затем нажмите на опорную точку. Удерживая клавишу Shift, выделите дополнительные опорные точки щелчком.
• Выберите инструмент «Лассо»  и перетащите его вокруг опорных точек. Удерживая нажатой клавишу Shift, выберите дополнительные опорные точки.

Выделение отрезков контура

Выполните любое из следующих действий:

• Выберите инструмент «Частичное выделение»  и щелкните в пределах двух пикселей от отрезка или перетащите выделенную область через его часть. Чтобы выделить дополнительные отрезки контура, щелкните их или перетащите на них инструмент, удерживая клавишу Shift.
• Выберите инструмент «Лассо»  и перетащите его вокруг части отрезка контура. Удерживая клавишу Shift, выделите дополнительные отрезки контура путем перетаскивания инструмента вокруг них.

Выделение всех опорных точек и отрезков в контуре

• Выберите инструмент «Частичное выделение» или «Лассо».
• Перетащите по всему контуру.

Если к контуру применена заливка, то для выделения всех опорных точек можно также использовать инструмент «Частичное выделение» внутри контура.

Копирование контура

Выделите контур или отрезок с помощью инструмента «Частичное выделение» и выполните одно из следующих действий.

• Для копирования и вставки контуров в пределах одного приложения или между приложениями используются стандартные функции меню.
  
• Удерживая клавишу Alt (Windows) или Option (macOS), перетащите контур в нужное положение.

Добавление и удаление опорных точек

Добавление опорных точек предоставляет дополнительные возможности по управлению контуром, а также позволяет удлинять открытый контур. Однако не следует добавлять точки без необходимости, поскольку это усложняет контур. Контур с небольшим количеством точек удобнее редактировать, а также выводить на экран и на печать. Контур можно упростить, удалив из него ненужные точки. 

Добавление или удаление опорной точки

Добавление опорной точки: 

• Выберите инструмент Перо  или Добавить опорную точку . 
  Примечание. Инструмент Перо меняется на инструмент «Добавить опорную точку», если навести его на выделенный контур.
• Щелкните отрезок контура.

Удаление опорной точки:

• Выберите инструмент Перо или Удалить опорную точку  и щелкните опорную точку. 
  Примечание. Инструмент «Перо» меняется на инструмент «Удалить опорную точку», если навести его на опорную точку.
• Выберите точку с помощью инструмента «Частичное выделение» и нажмите на панели управления кнопку Удалить выделенные опорные точки .

 Не используйте для удаления опорных точек клавиши Delete и Backspace, а также команды Редактирование > Вырезать и Редактирование > Очистить. Эти клавиши и команды также удаляют присоединенные к точке отрезки.

Поиск и удаление изолированных опорных точек

Изолированными называются отдельные опорные точки, не связанные с другими опорными точками. Такие точки рекомендуется находить и удалять.

1. Снимите выделение со всех объектов.

2. Выберите команду Выделить > Объект > Изолированные точки.

3. Выберите команды Редактирование > Вырезать или Редактирование > Очистить либо нажмите клавишу «Delete» или «Backspace».

Отключение или временное изменение автоматического переключения инструмента «Перо»

Можно временно изменить или отключить автоматическое переключение на инструмент «Добавить опорную точку» или «Удалить опорную точку».

• Чтобы временно изменить переключение, нажмите клавишу Shift и, не отпуская ее, поместите инструмент «Перо» на выделенный контур или опорную точку. Это полезно, если нужно создать новый контур поверх существующего. Чтобы клавиша «Shift» не фиксировала инструмент Перо, отпустите ее, перед тем как отпустить кнопку мыши.

• Чтобы отключить переключение, выберите команду «Редактирование» > «Установки» > «Основные» (Windows) или «Illustrator» > «Установки» > «Основные» (Mac OS) и щелкните «Отключить автоматическое добавление/удаление».

Создание простого и сглаженного контура

Illustrator предоставляет возможности сглаживания контуров и их упрощения путем удаления лишних опорных точек. Дополнительные сведения см. в разделе Упрощение контура.

Усреднение расположения опорных точек

1. Выберите несколько опорных точек (в одном контуре или в разных контурах).

2. Выберите Объект > Контур > Усреднить.

3. Задайте усреднение только по горизонтальной оси (X), только по вертикальной оси (Y) или по обеим осям, а затем нажмите кнопку ОК.

Преобразование точек на контуре

Можно преобразовывать угловые точки контура в сглаженные и наоборот. С помощью функций на панели «Управление» можно быстро преобразовать несколько опорных точек. С помощью инструмента «Преобразовать опорную точку» можно преобразовать точку только с одной стороны, а также в точности изменить кривую по мере преобразования точки.

Преобразование одной или нескольких опорных точек с помощью панели «Управление»

Для преобразования опорных точек с помощью функций на панели «Управление» необходимо, чтобы был выделен не весь объект, а только нужные точки. Если выбрано несколько объектов, то один из них должен быть выделен только частично. Если объекты выделены полностью, то на панели «Управление» будут отображаться параметры для редактирования объектов целиком.

1. Чтобы преобразовать одну или несколько угловых точек в гладкие точки, выделите нужные точки и нажмите кнопку «Преобразовать выделенные опорные точки к точкам сглаживания»  на панели «Управление».

2. Чтобы преобразовать одну или несколько гладких точек в угловые точки, выделите нужные точки и нажмите кнопку «Преобразовать выделенные опорные точки к точкам преломления»  на панели «Управление».

Точное преобразование опорных точек с помощью инструмента «Преобразовать опорную точку»

1. Выделите весь контур, который нужно изменить, чтобы были видны его опорные точки.

2. Выберите инструмент «Преобразовать опорную точку» .

3. Наведите инструмент «Преобразовать опорную точку» на нужную опорную точку и выполните одно из следующих действий.

   Перетаскивание управляющей точки из угловой точки для создания гладкой точки Щелчок по гладкой точке для создания угловой точки Преобразование гладкой точки в угловую точку

   • Чтобы преобразовать угловую точку без управляющих линий в угловую точку с независимыми управляющими линиями, сначала перетащите управляющую точку из угловой точки (она превратится в гладкую точку с управляющими линиями). Отпустите только кнопку мыши (не отпускайте клавиши, которые могли быть нажаты для активации инструмента «Преобразовать опорную точку») и перетащите любую управляющую точку.

Курсор Изменить сегмент поддерживает изменение формы с помощью сенсорного ввода на сенсорных устройствах и в сенсорном рабочем пространстве. Чтобы использовать его с инструментом « Преобразовать опорную точку », выполните следующие действия.

1. Выберите инструмент преобразования опорной точки, а затем наведите указатель на сегмент контура.
   

2. Когда появится указатель изменения формы сегмента, перетащите сегмент контура, чтобы изменить его форму.
   

   Графический объект, преобразованный посредством перерисовки сегмента с помощью инструмента преобразования опорной точки

   A. Исходная иллюстрация B. Перерисовка сегмента с помощью инструмента «Опорная точка» C. Измененная фигура 

3. Чтобы дублировать сегмент контура, выполните действие 2, удерживая нажатой клавишу Alt или Option.
   

4. Чтобы создать сегмент в виде полукруга, удерживайте нажатой клавишу Shift в процессе изменения формы сегмента. При этом перемещение манипуляторов ограничивается движением в перпендикулярном направлении, а также обеспечивается равномерная их длина.
   

Стирание графического объекта

Отдельные части графического объекта можно стирать с помощью инструментов «Стирание контура», «Ластик» или с помощью ластика пера Wacom. Инструмент «Стирание контура»  позволяет стирать фрагменты контура рисованием вдоль него. Этот инструмент может оказаться полезным, если стираемый фрагмент нужно ограничить отрезком контура, например стороной треугольника. Инструмент «Ластик»  и ластик пера Wacom позволяют стирать любую область графического объекта, независимо от структуры. Инструмент «Ластик» можно использовать при работе с контурами, составными контурами, контурами внутри групп с быстрой заливкой, а также с обтравочными контурами.

Стирание частей контура с помощью инструмента «Стирание контура» (слева) и стирание фрагмента сгруппированного объекта с помощью инструмента «Ластик» (справа)

Стирание части контура с помощью инструмента «Стирание контура»

1. Выделите объект.

2. Выберите инструмент «Стирание контура» .

3. Перетащите инструмент вдоль отрезка контура, который нужно стереть. Рекомендуется делать это одним плавным движением.

Стирание объектов с помощью инструмента «Ластик»

1. Выполните одно из действий ниже:

   • Чтобы стереть конкретные объекты, выделите эти объекты или откройте их в режиме изоляции.

   • Чтобы стереть какой-либо объект в монтажной области, снимите выделение со всех объектов.

   Если не выделен ни один объект, инструмент «Ластик» стирает во всех слоях.

2. Выберите инструмент «Ластик» .

3. (Необязательно) Дважды щелкните инструмент «Ластик», чтобы задать его параметры.

4. Перетащите курсор по области, которую нужно стереть. Управлять инструментом можно следующим образом:

   • Чтобы инструмент «Ластик» двигался только по вертикали, горизонтали или диагонали, перетаскивайте курсор с нажатой клавишей «Shift».

   • Чтобы создать область вокруг фрагмента рисунка и стереть все объекты в этом фрагменте, перетаскивайте курсор с нажатой клавишей Alt (Windows) или Option (Mac OS). Чтобы сделать область квадратной, перетаскивайте курсор с нажатыми клавишами Alt и Shift (Windows) или Option и Shift (Mac OS).

Стирание объектов с помощью ластика пера Wacom

При перевороте пера автоматически становится активен инструмент «Ластик». При обратном перевороте пера снова становится активен предыдущий инструмент.

• Переверните перо и перетащите курсор по области, которую нужно стереть. Чтобы стираемый контур был шире, сильнее нажимайте на перо (возможно, для этого потребуется установить параметр «С нажимом» в диалоговом окне «Параметры инструмента «Ластик»).

Параметры инструмента «Ластик»

Чтобы изменить параметры инструмента «Ластик», дважды щелкните этот инструмент на панели «Инструменты».

 Диаметр можно изменить в любое время клавишами ] (увеличение) и [ (уменьшение).

Угол

Определяет угол поворота инструмента. Перетащите стрелку в окне предпросмотра или введите значение в текстовом поле «Угол».

Округлость

Определяет округлость инструмента. Перетащите черную точку в окне просмотра в направлении от центра или к центру либо введите значение в текстовом поле «Округлость». Чем больше значение, тем больше округлость.

Диаметр

Определяет диаметр инструмента. Задайте диаметр с помощью ползунка «Диаметр» или введите значение в текстовом поле «Диаметр».

Раскрывающийся список справа от каждого параметра позволяет управлять вариантами формы инструмента. Выберите один из следующих вариантов:

Фиксированная

Используется постоянный угол, форма или диаметр.

Случайный

Используется случайный вариант угла, округлости или диаметра. В текстовом поле «Отклонение» задается значение, указывающее диапазон, в пределах которого могут колебаться характеристики кисти. Например, если параметр «Диаметр» имеет значение 15, а параметр «Варианты» — значение 5, то диаметр может быть в пределах от 10 до 20.

Нажим

Угол, округлость и диаметр различаются в зависимости от нажима на перо. Этот параметр лучше всего использовать с параметром «Диаметр». Он доступен только при работе с графическим планшетом. Введите значение в текстовом поле «Отклонение», чтобы задать диапазон колебания исходного значения характеристики кисти. Например, если параметр «Округлость» имеет значение 75 %, а параметр «Варианты» — значение 25 %, то самому легкому мазку будет соответствовать 50 %, а самому жирному — 100%. Чем слабее нажим, тем более наклонным получается мазок кисти.

Копировальное колесико

Диаметр различается в зависимости от движений колесика на пере.

Наклон

Угол, округлость и диаметр различаются в зависимости от наклона пера. Этот параметр особенно полезен при использовании одновременно с параметром «Округлость». Он доступен, только если графический планшет способен определять направление наклона пера.

Месторасположение

Угол, округлость и диаметр различаются в зависимости от нажима на перо. Этот параметр наиболее полезен для управления углом наклона каллиграфических кистей, особенно при работе с кистью традиционного типа. Он доступен только в том случае, если графический планшет способен определять, насколько положение пера близко к вертикальному.

Поворот

Угол, округлость и диаметр различаются в зависимости от поворота кончика пера. Этот параметр наиболее полезен для управления углом каллиграфической кисти, особенно при использовании такой кисти, как плоское перо. Он доступен, только если графический планшет способен определять тип поворота.

Разделение контура

Контур можно разделить в любой опорной точке или в любом месте отрезка. При разделении контура необходимо помнить следующее:

• Чтобы разделить замкнутый контур на два открытых, необходимо разрезать контур в двух местах. Если разрезать замкнутый контур только в одном месте, получится один незамкнутый контур.

• Любые контуры, полученные путем разделения, наследуют параметры исходного контура (ширину обводки, цвет заливки и т. д.). Обводка автоматически выравнивается по центру.

1. (Необязательно) Выделите контур, чтобы увидеть его текущие опорные точки.

2. Выполните одно из действий ниже:

   • Выберите инструмент «Ножницы» и щелкните контур в том месте, где его нужно разделить. Если контур разделить в середине отрезка, появятся две новые конечные точки (одна над другой), и одна из них будет выделена.
   • Выберите инструмент «Нож» и перетащите указатель по объекту.  Сделанные инструментом «Нож» разрезы обозначаются пунктирной линией на объекте.
   • Выделите опорную точку, в которой необходимо разделить контур, а затем на панели «Управление» нажмите кнопку «Вырезать контур по выделенным опорным точкам» . Если контур разделить в опорной точке, то над ней появится новая опорная точка, и одна из этих точек будет выделена.

   Дополнительные сведения см. в разделе Разрезание, разделение и обрезка объектов.

3. С помощью инструмента «Частичное выделение» скорректируйте новую опорную точку или сегмент контура.

Связанные ресурсы

• О контурах
• Рисование с помощью инструментов «Перо», «Кривизна» и «Карандаш»
• Комбинации клавиш по умолчанию в Illustrator

Обращайтесь к нам

Мы будем рады узнать ваше мнение. Поделитесь своими мыслями с сообществом Adobe Illustrator.

линии материальной кривой, вектор, бесплатно PNG png

линии материальной кривой, вектор, бесплатно PNG png

теги

• вектор,
• бесплатно PNG,
• бесплатное изображение PNG,
• креативная иллюстрация,
• кривая,
• линия,
• бесплатно,
• изображение,
• креатив,
• иллюстрация,
• клипарт материала,
• кривая клипарт,
• клипарт линий,
• png,
• прозрачный png,
• без фона,
• бесплатная загрузка

Скачать PNG ( 395. 52KB )

Размер изображения

3508x2482px

Размер файла

395.52KB

MIME тип

Image/png

изменить размер PNG

ширина(px)

высота(px)

Некоммерческое использование, DMCA Contact Us

• красный, желтый и зеленый абстрактный, креативный дизайн, шаблон, текст png 2661x3511px 889.02KB
• Евклидова технология, технология креативного материала, синий и черный аннотация, текстура, cdr png 1500x1500px 198.25KB
• Запуск иллюстрации, творческий креативный, разноцветный мужчина работает иллюстрации, фиолетовый, угол png 500x500px 127.4KB
• org/ImageObject»> Евклидово, творческий зеленый луг на склоне, угол, лист png 3072x2160px 2.11MB
• Диаграмма предпринимателя, творческие финансовые данные статистические графики, мужчина держит ноутбук графического искусства, инфографика, cdr png 6201x5020px 546KB
• иллюстрация разноцветной идеи, идея творчества, иллюстрация творческого мышления, текст, люди png 627x900px 352.19KB
• Евклидово, динамическая волна, две волны и желтая волна, шаблон, синий png 2142x2051px 116.97KB
• облака небо, креатив, небо png 2000x2000px 1.38MB
• Черная точка, черный, справочный материал png 1639x804px 70. 08KB
• земля, технология, технология творческого материала, угол, электроника png 1500x1500px 268.93KB
• маркер местоположения, материал с изображением логотипа, креативный логотип png 600x500px 16.47KB
• Евклидова точка, Материал креативных линий, синий, синий, угол png 812x687px 93.82KB
• красный и черный, кривая орнамент, png Материал, компьютер png 1772x1772px 534.83KB
• творческий старинный деревянный знак, веревка, доска png 897x1000px 1.07MB
• иллюстрация ремня, баннер, креативный материал из кожи, коричневый, этикетка png 4724x4724px 10. 36MB
• Дифференциальная геометрия кривых Дифференциальная геометрия кривых Линия Евклидова, Цветные абстрактные геометрические кривые линии, красный, черный и белый вихрь, угол, цвет Всплеск png 511x2345px 174.54KB
• коричневый фон с наложением текста, Infographic Timeline Иллюстрация, творческая диаграмма PPT, шаблон, текст png 1191x1652px 259.97KB
• изысканные синие динамические линии текстуры, четыре волновых данных, шаблон, текстура png 2144x1596px 1.97MB
• рамка, креативная бумага, теневая проекция, вектор кадра, эскиз границы png 1248x1626px 45.79KB
• org/ImageObject»> диснеевский замок креатив, дисней, замок png 557x957px 515.56KB
• Логотип Brand Green Font, зеленая кривая, угол, лист png 1453x500px 116.53KB
• творческие разноцветные облака, красочные облака, дым png 6710x2903px 14.35MB
• пограничная тень, теневые эффекты, креативные эффекты png 1370x634px 28.24KB
• Ppt background Креативное название, 01 02 03 работа, инфографика, этикетка png 1200x1200px 151.62KB
• Кривая евклидова, синяя кривая, синий изогнутый слэш иллюстрации, синий, угол png 700x2311px 52.17KB
• org/ImageObject»> Графический дизайн Узор, фиолетовый абстрактный фон, мягкие линии, декоративный материал, синий и розовый фон, фиолетовый, угол png 2013x1387px 592.86KB
• Динамические линии абстрактные элементы, черный, желтый и серый иллюстрации искусства, угол, простой png 3547x1735px 522.23KB
• Желтый узор, оранжевые абстрактные линии фон декоративный материал, оранжевые произведения искусства, угол, текст png 2020x1400px 891.32KB
• красный карандаш, креативный графический дизайн, креативный материал, карандаш, фотография png 1181x1181px 242.4KB
• крест на красном круге, красный крест на, красная вилка png 1000x1415px 224. 02KB
• Шаблон плаката, креативный бизнес постер, дизайн флаера, угол, деловая женщина png 951x1344px 97.42KB
• занавес белого и синего экрана, Adobe Illustrator Illustration, объявление, синий, текст png 685x1397px 85.07KB
• золотая шелковая лента, золотой, шелк png 800x772px 291.13KB
• иллюстрация синей лампочки, бизнес-идея, креативность, инфографика, креативная лампа, текст, креатив Искусство png 1024x1024px 906.27KB
• четыре разных цвета, диаграмма инфографики, творческий гексагональной ppt, синий, угол png 1045x1046px 76.71KB
• org/ImageObject»> Синяя цветовая модель RGB, кривая фона, синий, зеленый и красный, угол, текст png 2656x3573px 1.21MB
• Бумажный флаер, материал для бизнес-флаера, граница, инфографика png 1431x2024px 124.41KB
• синий мозг материал, изображение мозга, творческое изображение мозга png 677x566px 519.34KB
• восходящие стрелки, рост, кривая png 1138x1138px 12.54KB
• Графический дизайн, текстовая фоновая графика, разноцветные, угол, эффект png 2550x3517px 682.65KB
• рождественский венок, рождество, венок png 967x1354px 1.77MB
• org/ImageObject»> значок шестеренки настроек, снаряжение, конфигурация png 512x512px 24.92KB
• молния творческая, молния, вспышка png 1000x1000px 896.18KB
• красная, розовая и синяя хвостовая стрела, изогнутая стрела, другие, 3D компьютерная графика png 1000x1000px 206.78KB
• красные кисти, красные кисти, красный крест на png 1000x1000px 105.66KB
• затенение золотой каймой, материал золотой рамы, рамка png 451x500px 69.92KB
• иллюстрация пестротканого баскетболиста, спорт баскетбольной команды, творческие баскетболисты, спорт, баскетбольная площадка png 971x1163px 430. 56KB
• Звуковая кривая звуковой волны, абстрактная кривая звуковой волны, синий, угол png 1042x593px 644.6KB
• желтый и белый фон, креатив свернуть стойку, текст, прямоугольник png 731x955px 43.36KB
• творческий клубничный всплеск, креатив, клубника png 2402x2778px 4.94MB

Vector Equation — уравнения линии и плоскости, формулы, примеры

Vector уравнения используются для представления уравнения линии или плоскости с помощью переменных x, y, z. Векторное уравнение определяет размещение линии или плоскости в трехмерной структуре. Векторное уравнение прямой имеет вид r = a + λb, а векторное уравнение плоскости — r.n = d.

Давайте проверим векторные уравнения, и как найти векторные уравнения прямой или плоскости, с помощью примеров, часто задаваемых вопросов.

1.	Что такое векторные уравнения?
2.	Векторные уравнения прямой
3.	Векторные уравнения плоскости
4.	Векторные уравнения против декартовых уравнений
5.	Часто задаваемые вопросы о векторных уравнениях

Что такое векторные уравнения?

Векторные уравнения используются для представления линий или плоскостей в трехмерной структуре. Трехмерная плоскость требует трех координат относительно трех осей, и здесь векторы помогают легко представить векторное уравнение линии или плоскости. В трехмерной структуре единичный вектор вдоль оси x равен \(\hat i \), единичный вектор вдоль оси y равен \(\hat j\), а единичный вектор вдоль оси z равен \(\шляпа к\). Векторные уравнения записываются с использованием \(\hat i\), \(\hat j\), \(\hat k\) и могут быть представлены геометрически в трехмерной плоскости. Простейшая форма векторного уравнения линии — \(\vec r = \vec a + λ\vec b\), а векторное уравнение плоскости — \(\overrightarrow r. \hat n\) = d.

Векторное уравнение прямой: \(\vec r = \vec a + λ\vec b\)

Векторное уравнение плоскости: \(\overrightarrow r. \hat n\) = d

Есть два методы нахождения векторных уравнений прямой и четыре метода нахождения векторных уравнений плоскости. Проверим различные векторные уравнения прямой и плоскости.

Векторные уравнения прямой

Векторные уравнения прямой можно вычислить с помощью любых двух точек на прямой или с помощью точки на прямой и параллельного вектора. Два метода формирования векторной формы уравнения прямой заключаются в следующем.

• Векторное уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей вектор положения \(\vec a\) и параллельной векторной прямой \(\vec b\), имеет вид \(\vec r = \vec а + λ\vec b\).
• Векторное уравнение прямой, проходящей через две точки с вектором положения \(\vec a\) и \(\vec b\), имеет вид \(\vec r = \vec a + λ(\vec b — \vec а)\).

Векторные уравнения плоскости

Векторное уравнение плоскости представляет собой векторную форму уравнения плоскости в декартовой системе координат и может быть вычислено различными методами на основе доступных входных значений плоскости. Ниже приведены четыре различных выражения уравнения плоскости в векторной форме.

• Нормальная форма: Уравнение плоскости на перпендикулярном расстоянии d от начала координат и имеющей единичный вектор нормали \(\hat n \) имеет вид \(\overrightarrow r. \hat n\) = d.
• Перпендикулярно данной линии и через точку: уравнение плоскости, перпендикулярной заданному вектору \(\overrightarrow N \) и проходящей через точку \(\overrightarrow a\), есть \((\overrightarrow r — \ a).\overrightarrow N = 0\)
• Через три неколлинеарные прямые: уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки \(\overrightarrow a\), \(\overrightarrow b\) и \(\overrightarrow c\), имеет вид \((\overrightarrow r — \overrightarrow a)[(\overrightarrow b — \overrightarrow a) × (\overrightarrow c — \overrightarrow a)] = 0\).
• Пересечение двух плоскостей: уравнение плоскости, проходящей через пересечение двух плоскостей \(\overrightarrow r .\hat n_1 = d_1\) и \(\overrightarrow r.\hat n_2 = d_2 \), имеет вид \( \overrightarrow r(\overrightarrow n_1 + λ \overrightarrow n_2) = d_1 + λd_2\).

Векторные уравнения и декартовы уравнения

Векторные уравнения легко преобразуются в декартовы уравнения. Декартовы уравнения имеют переменные x, y, z и не имеют ни одного из единичных векторов i, j, k в своих уравнениях. Декартова форма уравнения образуется путем исключения константы λ из векторных уравнений. Давайте попробуем понять разницу между векторными уравнениями и декартовыми уравнениями.

Векторное уравнение прямой \(\vec r = \vec a + λ\vec b\), проходящей через точку \(\vec a\) и параллельной вектору \(\vec b\ ) преобразуется в декартову форму, представляя \(\vec a = x_1\hat i + y_1\hat j + z_1\hat k\) и \(\vec b = a\hat i + b\hat j + c\hat k\), а преобразованное уравнение в декартовой форме имеет вид \(\dfrac{x — x_1}{a} = \dfrac{y — y_1}{b} = \dfrac{z — z_1}{c}\).

Точно так же мы можем записать каждое из векторных уравнений прямой и плоскости в декартовой форме уравнения. В таблице ниже показано преобразование каждого из векторных уравнений в декартово уравнение.

Векторное уравнение	Декартово уравнение
\(\vec r = \vec a + λ\vec b\)	\(\dfrac{x — x_1}{a} = \dfrac{y — y_1}{b} = \dfrac{z — z_1}{c}\)
\(\vec r = \vec a + λ(\vec b — \vec a)\)	\(\dfrac{x — x_1}{x_2 — x_1} = \dfrac{y — y_1}{y_2 — y_1} = \dfrac{z — z_1}{z_2 — z_1}\)
\(\overrightarrow r. \hat n\) = d	лк + нью + нз = д
\((\overrightarrow r — \overrightarrow a). \overrightarrow N = 0\)	А (х — х 1 ) + В (у — у 1 ) + С (z — z 1 ) = 0
\((\overrightarrow r — \overrightarrow a)[(\overrightarrow b — \overrightarrow a) × (\overrightarrow c — \overrightarrow a)] = 0\)	\(\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2 — x_1&y_2 — y_1&z_2 — z_1\\x_3 — x_1&y_3 — y_1&z_3 — z_1\end{vmatrix}=0\)
\(\overrightarrow r(\overrightarrow n_1 + λ \overrightarrow n_2) = d_1 + λd_2\)	(А 1 х + В 1 у + С 1 z — d 1 ) + λ(А 2 х + В 2 у + С 901 32 2 г — д 2 ) = 0

☛ Похожие темы

• Угол между двумя векторами
• Нулевой вектор
• Уравнение плоскости
• Декартова форма
• Линии наклона

Часто задаваемые вопросы о векторных уравнениях

Что такое векторные уравнения?

Векторные уравнения представляют собой форму уравнений, представленных с помощью векторов \(\hat i\), \(\hat j\) и \(\hat k\), которые являются единичными векторами вдоль оси x, y -ось и ось z соответственно. Векторные уравнения прямой имеют вид \(\vec r = \vec a + λ\vec b\), а векторное уравнение плоскости имеет вид \(\overrightarrow r. \hat n\) = d.

Как написать векторное уравнение?

Векторное уравнение записывается с помощью векторов \(\hat i\), \(\hat j\), \(\hat k\), являющихся единичными векторами вдоль оси x, y- ось и ось z соответственно. Векторное уравнение прямой, проходящей через точку с вектором положения \(\vec a\) и параллельной вектору \(\vec b\), можно записать в виде \(\overrightarrow r. \hat n\) = д. Точно так же мы можем также создать векторное уравнение плоскости с единичным вектором нормали \(\hat n\) is \(\vec r.\hat n\) = d

Как найти векторное уравнение прямой?

Векторное уравнение прямой можно найти из любой точки вектора, имеющего вектор положения \(\vec a\) и параллельный вектор \(\vec b\), и имеет вид \(\vec r = \ vec a + λ\vec b\). Другая форма векторного уравнения прямой, проходящей через две точки с вектором положения \(\vec a\) и \(\vec b\), имеет вид \(\vec r = \vec a + λ(\vec b — \ vec а)\).

Как найти векторное уравнение плоскости?

Векторное уравнение плоскости с единичным вектором нормали \(\hat n\) и перпендикулярным расстоянием ‘d’ от начала координат имеет вид \(\vec r. \hat n = d\). Кроме того, есть еще три метода нахождения векторных уравнений на основе доступных входных значений.

Как решать векторные уравнения?

Векторные уравнения могут быть решены в упрощенной форме путем преобразования их в декартову форму. Векторное уравнение линии (\vec r = \vec a + λ\vec b\) можно упростить и записать в декартовой форме как \(\dfrac{x — x_1}{a} = \dfrac{y — y_1}{b} = \dfrac{z — z_1}{c}\).

12.5 Линии и плоскости

  

Линии и плоскости, пожалуй, самые простые из кривых и поверхностей в трехмерное пространство. Они также окажутся важными, поскольку мы стремимся понимать более сложные кривые и поверхности.

Уравнение линии в двух измерениях: $ax+by=c$; это разумно ожидать, что линия в трех измерениях задается $ax + by +cz = d$; разумно, но неправильно — оказывается, что это уравнение плоскости.

У плоскости нет очевидного «направления», как у линии. можно связать плоскость с направлением очень полезным способом, однако: есть ровно два направления, перпендикулярные самолет. Любой вектор с одним из этих двух направлений называется нормальный к самолету. Таким образом, хотя векторов нормали к данной плоскости много, все они параллельны или антипараллельны друг другу.

Предположим, две точки $\ds (v_1,v_2,v_3)$ и $\ds (w_1,w_2,w_3)$ лежат в плоскости; тогда вектор $\ds\langle w_1-v_1,w_2-v_2,w_3-v_3\rangle$ параллелен к самолету; в частности, если этот вектор положить хвостом в $\ds ​​(v_1,v_2,v_3)$, то его головка находится в точке $\ds (w_1,w_2,w_3)$ и лежит в самолет. В результате любой вектор, перпендикулярный плоскости, перпендикулярно $\ds \langle w_1-v_1,w_2-v_2,w_3-v_3\rangle$. На самом деле, это Легко видеть, что плоскость состоит из именно те точки $\ds ​​(w_1,w_2,w_3)$, для которых $\ds \langle w_1-v_1,w_2-v_2,w_3-v_3\rangle$ равно перпендикулярно нормали к плоскости, как показано на рисунок 12. 5.1. То есть предположим мы знаем, что $\langle a,b,c\rangle$ нормальна к плоскости, содержащей точка $\ds (v_1,v_2,v_3)$. Тогда $(x,y,z)$ лежит в плоскости тогда и только тогда если $\langle a,b,c\rangle$ перпендикулярно $\ds \langle x-v_1,y-v_2,z-v_3\rangle$. В свою очередь, мы знаем, что это правда именно тогда, когда $\ds \langle a,b,c\rangle\cdot\langle x-v_1,y-v_2,z-v_3\rangle=0$. Таким образом, $(x,y,z)$ лежит в плоскости, если и только если $$\выравнивание{ \langle a,b,c\rangle\cdot\langle x-v_1,y-v_2,z-v_3\rangle&=0\cr a(x-v_1)+b(y-v_2)+c(z-v_3)&=0\cr топор+by+cz-av_1-bv_2-cv_3&=0\cr топор+by+cz&=av_1+bv_2+cv_3.\cr }$$ Работая в обратном направлении, обратите внимание, что если $(x,y,z)$ — точка, удовлетворяющая $ax+by+cz=d$ тогда $$\выравнивание{ топор+by+cz&=d\cr топор+by+cz-d&=0\cr a(x-d/a)+b(y-0)+c(z-0)&=0\cr \langle a,b,c\rangle\cdot\langle x-d/a,y,z\rangle&=0.\cr }$$ А именно, $\langle a,b,c\rangle$ перпендикулярен вектору с хвост в $(d/a,0,0)$ и голова в $(x,y,z)$. Это означает, что точки $(x,y,z)$, удовлетворяющие уравнению $ax+by+cz=d$, образуют плоскость перпендикулярно $\langle a,b,c\rangle$. (Это не работать, если $a=0$, но в этом случае мы можем использовать $b$ или $c$ в роли $а$. То есть либо $a(x-0)+b(y-d/b)+c(z-0)=0$, либо $a(x-0)+b(y-0)+c(z-d/c)=0$.)

Рисунок 12.5.1. Плоскость, определяемая векторами, перпендикулярными нормали.

Таким образом, для вектора $\langle a,b,c\rangle$ мы знаем, что все плоскости перпендикулярные этому вектору, имеют вид $ax+by+cz=d$, и любая поверхность этой формы является плоскостью, перпендикулярной $\langle a,b,c\rangle$.

Пример 12.5.1 Найдите уравнение для плоскости, перпендикулярной $\langle 1,2,3\rangle$ и содержащий точку $(5,0,7)$.

Используя приведенный выше вывод, плоскость $1x+2y+3z=1\cdot5+2\cdot0+3\cdot7=26$. Поочередно, мы знаем, что плоскость равна $x+2y+3z=d$, и чтобы найти $d$, можно подставить известную точку на плоскости, чтобы получить $5+2\cdot0+3\cdot7=d$, поэтому $d=26$. Мы могли бы также записать это просто как $(x-5)+2(y)+3(z-7)=0$, что для много целей прекрасное представление; всегда можно умножить чтобы получить $x+2y+3z=26$. $\квадрат$

Пример 12.5.2 Найдите вектор нормали к плоскости $2x-3y+z=15$.

Одним из примеров является $\langle 2, -3,1\rangle$. Любой вектор, параллельный или антипараллельно с этим также работает, например $-2\langle 2, -3,1\rangle=\langle -4,6,-2\rangle$ также нормальна к плоскости. $\квадрат$

Нам часто нужно будет найти уравнение для плоскости при определенных условиях. информация о самолете. Хотя иногда может быть немного более короткие пути к желаемому результату, это всегда возможно, и обычно целесообразно использовать данную информацию, чтобы найти нормаль к плоскость и точку на плоскости, а затем найти уравнение в виде выше.

Пример 12.5.3. Плоскости $x-z=1$ и $y+2z=3$ пересекаются по прямой. Найди третья плоскость, содержащая эту прямую и перпендикулярная плоскости $x+y-2z=1$.

Прежде всего заметим, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны. Таким образом, мы ищем вектор $\langle a,b,c\rangle$, то есть перпендикулярно $\langle 1,1,-2\rangle$. Кроме того, поскольку желаемая плоскость должна содержать определенную линию, $\langle a,b,c\rangle$ должны быть перпендикулярны любому вектору, параллельному этому линия. Так как $\langle a,b,c\rangle$ должны быть перпендикулярны двум векторам, мы можем найти это по вычисление перекрестного произведения двух. Итак, нам нужен вектор, параллельный к линии пересечения данных плоскостей. Для этого достаточно знать две точки на прямой. Чтобы найти две точки на этой прямой, необходимо найти две точки, находящиеся одновременно на двух плоскостях, $x-z=1$ и $y+2z=3$. Любая точка на обеих плоскостях будет удовлетворять $x-z=1$ и $y+2z=3$. Легко найти значения для $x$ и $z$ удовлетворяющие первому, такие как $x=1, z=0$ и $x=2, z=1$. Затем мы можем найти соответствующие значения для $y$, используя второе уравнение, а именно $y=3$ и $y=1$, поэтому $(1,3,0)$ и $(2,1,1)$ находятся на прямой пересечения, потому что оба находятся в обеих плоскостях. Сейчас $\langle 2-1,1-3,1-0\rangle=\langle 1,-2,1\rangle$ параллелен линия. Наконец, мы можем выбрать $\langle a,b,c\rangle=\langle 1,1,-2\rangle\times \langle 1,-2,1\rangle=\langle -3,-3,-3\rangle$. Хотя этот вектор прекрасно подойдет, любой вектор, параллельный или антипараллельное к нему также будет работать, поэтому, например, мы могли бы выбрать $\langle 1,1,1\rangle$, который ему антипараллелен.

Теперь мы знаем, что $\langle 1,1,1\rangle$ нормальна к искомой плоскости. и $(2,1,1)$ — точка на плоскости. Поэтому уравнение плоскость равна $x+y+z=4$. В качестве быстрой проверки, поскольку $(1,3,0)$ также находится на линия, она должна быть в самолете; поскольку $1+3+0=4$, мы видим, что это действительно дело.

Обратите внимание, что если бы мы использовали $\langle -3,-3,-3\rangle$ в качестве нормали, мы открыли бы уравнение $-3x-3y-3z=-12$, то мы вполне могли бы заметили, что мы можем разделить обе части на $-3$, чтобы получить эквивалент $x+y+z=4$. $\квадрат$

Итак, теперь мы понимаем уравнения плоскостей; давайте обратимся к линии. К сожалению, это оказывается весьма неудобным представить типичную линию одним уравнением; нам нужно подойти линии по-другому.

В отличие от плоскости, линия в трех измерениях имеет очевидную направление, а именно направление любого параллельного ему вектора. Фактически линия может быть определена и однозначно идентифицирована путем предоставления одной точки на прямой и вектор, параллельный прямой (в одном из двух возможных направления). То есть линия состоит именно из тех точек, которые мы можем достичь, начав с точки и пройдя некоторое расстояние в направление вектора. Давайте посмотрим, как мы можем перевести это на более математический язык.

Предположим, что прямая содержит точку $\ds (v_1,v_2,v_3)$ и параллельна к вектору $\langle a,b,c\rangle$; мы называем $\langle a,b,c\rangle$ a вектор направления для линии. Если мы поместим вектор $\ds \langle v_1,v_2,v_3\rangle$ с хвостом в начале координат и головой в $\ds (v_1,v_2,v_3)$, и если мы поместим вектор $\langle a,b,c\rangle$ хвостом в $\ds (v_1,v_2,v_3)$, то голова $\langle a,b,c\rangle$ находится в точке на прямой. Мы можем добраться до любых указать на линии, выполнив то же самое, за исключением использования $t\langle a,b,c\rangle$ вместо $\langle a,b,c\rangle$, где $t$ некоторое действительное число. Из-за того, как работает сложение векторов, точка в начале вектора $t\langle a,b,c\rangle$ — это точка в начале вектора $\ds\langle v_1,v_2,v_3\rangle+t\langle a,b,c\rangle$, а именно $\ds (v_1+ta,v_2+tb,v_3+tc)$; видеть рисунок 12.5.2.

Рисунок 12.5.2. Векторная форма линии.

Другими словами, когда $t$ пробегает все возможные действительные значения, вектор $\ds \langle v_1,v_2,v_3\rangle+t\langle a,b,c\rangle$ указывает на каждая точка на линии, когда ее конец находится в начале координат. Другой общий способ записать это как набор параметрические уравнения : $$ x= v_1+ta\qquad y=v_2+tb \qquad z=v_3+tc.$$ Иногда полезно использовать эту форму линии даже в двух случаях. размеры; векторная форма прямой на плоскости $x$-$y$ есть $\ds ​​\langle v_1,v_2\rangle+t\langle a,b\rangle$, что совпадает с $\ds ​​\langle v_1,v_2,0\rangle+t\langle a,b,0\rangle$.

Пример 12.5.4. Найдите векторное выражение для линии, проходящей через $(6,1,-3)$ и $(2,4,5)$. Чтобы получить вектор, параллельный прямой, мы вычитаем $\langle 6,1,-3\rangle-\langle2,4,5\rangle=\langle 4,-3,-8\rangle$. Линия тогда задается как $\langle 2,4,5\rangle+t\langle 4,-3,-8\rangle$; там конечно, много других возможностей, таких как $\langle 6,1,-3\rangle+t\langle 4,-3,-8\rangle$. $\квадрат$

Пример 12.5.5 Определить, совпадают ли прямые $\langle 1,1,1\rangle+t\langle 1,2,-1\rangle$ и $\langle 3,2,1\rangle+t\langle -1,-5,3\rangle$ параллельны, пересекаются или ни один.

В двух измерениях две линии либо пересекаются, либо параллельны; в В трех измерениях линии, которые не пересекаются, могут быть не параллельны. В этом случае, поскольку векторы направления линий не параллельны или антипараллельны, мы знаем, что прямые не параллельны. Если они пересекаются, то должно быть два значения $a$ и $b$, так что $\langle 1,1,1\rangle+a\langle 1,2,-1\rangle= \langle 3,2,1\rangle+b\langle -1,-5,3\rangle$, то есть $$\выравнивание{ 1+а&=3-б\кр 1+2а&=2-5б\кр 1-а&=1+3б\кр }$$ Это дает три уравнения с двумя неизвестными, поэтому может быть, а может и не быть. решение в общем. В этом случае легко обнаружить, что $a=3$ и $b=-1$ удовлетворяет всем трем уравнениям, поэтому прямые пересекаются в точка $(4,7,-2)$. $\квадрат$

Пример 12.5.6. Найти расстояние от точки $(1,2,3)$ до плоскости $2x-y+3z=5$. Расстояние от точки $P$ до плоскости является кратчайшим расстояние от $P$ до любой точки плоскости; это расстояние, измеряемое от $P$ перпендикулярно плоскости; видеть рисунок 12.5.3. Это расстояние является абсолютным значением скалярной проекции $\ds ​​\overrightarrow{\распорка QP}$ на вектор нормали $\bf n$, где $Q$ — любая точка плоскости. Легко найти точку на плоскости, скажем, $(1,0,1)$. Таким образом, расстояние равно $$ {\ overrightarrow {\ распорка QP} \ cdot {\ bf n} \ over | {\ bf n} |} = {\ langle 0,2,2 \ rangle \ cdot \ langle 2, -1,3 \ rangle \ over | \ langle 2, — 1,3 \ rangle |} = {4\over\sqrt{14}}. $$ $\квадрат$

Рисунок 12.5.3. Расстояние от точки до плоскости.

Пример 12.5.7. Найти расстояние от точки $(-1,2,1)$ до прямой $\langle 1,1,1\rangle + t\langle 2,3,-1\rangle$. Мы снова хотим расстояния измеряется перпендикулярно линии, как показано на рисунок 12.5.4. Желаемое расстояние равно $$ |\overrightarrow{\ распорка QP}|\sin\theta= {|\overrightarrow{\strut QP}\times{\bf A}|\over|{\bf A}|}, $$ где $\bf A$ — любой вектор, параллельный прямой. Из уравнения линии, мы можем использовать $Q=(1,1,1)$ и ${\bf A}=\langle 2,3,-1\rangle$, поэтому расстояние $$ {|\langle -2,1,0\rangle\times\langle2,3,-1\rangle|\over\sqrt{14}}= {|\langle-1,-2,-8\rangle|\over\sqrt{14}}={\sqrt{69}\over\sqrt{14}}. $$ $\квадрат$

Рисунок 12.5.4. Расстояние от точки до прямой.

Вы можете использовать Sage для вычисления расстояний до линий и плоскостей, так как это просто включает векторную арифметику, которую мы уже видели. Конечно, вы также можете использовать Sage для выполнения некоторых вычислений, связанных с нахождение уравнений плоскостей и прямых.

Пример 12.5.1 Найдите уравнение плоскости, содержащее $(6,2,1)$ и перпендикулярно $\langle 1,1,1\rangle$. (отвечать)

Пример 12.5.2 Найдите уравнение плоскости, содержащее $(-1,2,-3)$ и перпендикулярно $\langle 4,5,-1\rangle$. (отвечать)

Пример 12.5.3 Найдите уравнение плоскости, содержащее $(1,2,-3)$, $(0,1,-2)$ и $(1,2,-2)$. (отвечать)

Пример 12.5.4 Найдите уравнение плоскости, содержащее $(1,0,0)$, $(4,2,0)$ и $(3,2,1)$. (отвечать)

Пример 12.5.5 Найдите уравнение плоскости, содержащее $(1,0,0)$ и строка $\langle 1,0,2\rangle + t\langle 3,2,1\rangle$. (отвечать)

Пример 12.5.6 Найдите уравнение плоскости, содержащей прямую пересечение $x+y+z=1$ и $x-y+2z=2$ и перпендикулярно плоскость $2x+3y-z=4$. (отвечать)

Пример 12.5.7 Найдите уравнение плоскости, содержащей прямую пересечение $x+2y-z=3$ и $3x-y+4z=7$ и перпендикулярно плоскость $6x-y+3z=16$. (отвечать)

Пример 12.5.8 Найдите уравнение плоскости, содержащей прямую пересечение $x+3y-z=6$ и $2x+2y-3z=8$ и перпендикулярно плоскость $3x+y-z=11$. (отвечать)

Пример 12.5.9 Найдите уравнение прямой через $(1,0,3)$ и $(1,2,4)$. (отвечать)

Пример 12.5.10 Найдите уравнение прямой через $(1,0,3)$ и перпендикулярно плоскости $x+2y-z=1$. (отвечать)

Пример 12.5.11 Найдите уравнение прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярно плоскости $x+y-z=2$. (отвечать)

Пример 12.5.12 Найдите $a$ и $c$ так, чтобы $(a,1,c)$ лежало на прямой, проходящей через $(0,2,3)$ и $(2,7,5)$. (отвечать)

Пример 12.5.13 Объясните, как найти решение в пример 12.5.5.

Пример 12.5.14 Определить, являются ли строки $\langle 1,3,-1\rangle+t\langle 1,1,0\rangle$ и $\langle 0,0,0\rangle+t\langle 1,4,5\rangle$ параллельны, пересекаются или ни то, ни другое. (отвечать)

Пример 12.5.15 Определить, являются ли строки $\langle 1,0,2\rangle+t\langle -1,-1,2\rangle$ и $\langle 4,4,2\rangle+t\langle 2,2,-4\rangle$ параллельны, пересекаются или ни то, ни другое. (отвечать)

Пример 12.5.16 Определить, являются ли строки $\langle 1,2,-1\rangle+t\langle 1,2,3\rangle$ и $\langle 1,0,1\rangle+t\langle 2/3,2,4/3\rangle$ параллельны, пересекаются или ни то, ни другое. (отвечать)

Пример 12.5.17 Определить, являются ли строки $\langle 1,1,2\rangle+t\langle 1,2,-3\rangle$ и $\langle 2,3,-1\rangle+t\langle 2,4,-6\rangle$ параллельны, пересекаются или ни то, ни другое. (отвечать)

Пример 12.5.18 Найдите единичный вектор нормали к каждой из координатных плоскостей.

Пример 12.5.19 Покажите, что $\langle 2,1,3 \rangle + t \langle 1,1,2 \rangle$ и $\langle 3, 2, 5 \rangle + s \langle 2, 2, 4 \rangle$ одинаковы линия.

Пример 12.5.20 Дайте краткое описание каждого из следующих процессов:

а. Даны две различные точки, найти прямую, которая проходит через них.

б. Даны три точки (не все на одной прямой), найдите плоскость что проходит через них. Зачем нужна оговорка, что не все точки лежат на одной прямой?

в. Даны прямая и точка, не лежащие на этой прямой, найти плоскость, на которой содержит их обоих.

д. Даны плоскость и точка, не лежащие на плоскости, найти прямую, перпендикулярен плоскости, проходящей через данную точку.

Пример 12.5.21 Найдите расстояние от $(2,2,2)$ до $x+y+z=-1$. (отвечать)

Пример 12.5.22 Найдите расстояние от $(2,-1,-1)$ до $2x-3y+z=2$. (отвечать)

Пример 12.5.23 Найдите расстояние от $(2,-1,1)$ до $\langle 2,2,0\rangle+t\langle 1,2,3\rangle$. (отвечать)

Пример 12.5.24 Найдите расстояние от $(1,0,1)$ до $\langle 3,2,1\rangle+t\langle 2,-1,-2\rangle$. (отвечать)

Пример 12.5.25 Найдите расстояние между линиями $\langle 5,3,1\rangle+t\langle 2,4,3\rangle$ и $\langle 6,1,0\rangle+t\langle 3,5,7\rangle$. (отвечать)

Пример 12.5.26 Найдите расстояние между линиями $\langle 2,1,3\rangle+t\langle -1,2,-3\rangle$ и $\langle 1,-3,4\rangle+t\langle 4,-4,1\rangle$.